两角和与差的正弦余弦和正切公式专题及答案Word文件下载.docx

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么sin（α－β）等于（）

A.B.C．－D．－

6．已知θ为第二象限角，sin（π－θ）＝，则cos的值为（）

A.B.C．±

D．±

7．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanAtanB，则C等于（）

A.B.C.D.

8．若＝，则tan2α等于（）

A.B．－C.D．－

9．已知cosα＝，cos（α＋β）＝－，且α、β∈，则cos（α－β）的值等于（）

10．如图所示，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝（）

二、填空题

11.＝________.

12．若α∈（0，），且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于________．

13．已知tanα，tanβ是lg（6x2－5x＋2）＝0的两个实根，则tan（α＋β）＝________.

14．已知α∈，且2sin2α－sinα·

cosα－3cos2α＝0，则＝________.

三、解答题

15．已知sinα＋cosα＝，α∈（0，），sin（β－）＝，β∈（，）．

（1）求sin2α和tan2α的值；

（2）求cos（α＋2β）的值．

16．已知函数f（x）＝sin＋cos，x∈R.

（1）求f（x）的最小正周期和最小值；

（2）已知cos（β－α）＝，cos（β＋α）＝－，0<

α<

β≤，求证：

[f（β）]2－2＝0.

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

解析：

因为f（x）＝sinx－cosx＝sin（x－）,所以f＝sin＝sin＝－.

答案：

C

sin＋sinα＝⇒sincosα＋cossinα＋sinα＝⇒sinα＋cosα＝⇒sinα＋cosα＝，故sin＝sinαcos＋cosαsin＝－

＝－.

D

sin47°

＝sin（30°

＋17°

）＝sin30°

cos17°

＋cos30°

sin17°

，

∴原式＝＝sin30°

＝.

y＝＝，

当0<

时，0<

tanx<

1，

设t＝tanx，则0<

t<

1，y＝＝≥4，

当且仅当t＝1－t，即t＝时，等号成立．

因为α是第二象限角，且sinα＝，

所以cosα＝－＝－.

又因为β是第四象限角，cosβ＝，

所以sinβ＝－＝－.

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×

－（－）×

（－）＝＝.

A

由θ为第二象限角，可知为第一或第三象限角．

由sin（π－θ）＝，可知sinθ＝，

∴cosθ＝－.

∴2cos2＝cosθ＋1＝，∴cos＝±

.

由已知得tanA＋tanB＝－（1－tanAtanB），

∴＝－，即tan（A＋B）＝－.

又tanC＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝，

0<

C<

π，∴C＝.

＝＝＝，

∴tanα＝2，∴tan2α＝＝＝－，

故选D.

∵α∈（0，），∴2α∈（0，π）．

∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，

∴sin2α＝＝，

而α，β∈，∴α＋β∈（0，π），

∴sin（α＋β）＝＝，

∴cos（α－β）＝cos[2α－（α＋β）]

∴cos2αcos（α＋β）＋sin2αsin（α＋β）

＝（－）×

（－）＋×

因为四边形ABCD是正方形，且AE＝AD＝1，所以∠AED＝，

在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝1，

所以sin∠BEC＝，cos∠BEC＝.

sin∠CED＝sin（－∠BEC）

＝cos∠BEC－sin∠BEC＝×

（－）＝.

B

＝

＝＝2.

2

由sin2α＋cos2α＝得sin2α＋1－2sin2α＝1－sin2α＝cos2α＝，∵α∈（0，），∴cosα＝，∴α＝，∴tanα＝tan＝.

由lg（6x2－5x＋2）＝0，得6x2－5x＋1＝0，

∴由题意知tanα＋tanβ＝，tanα·

tanβ＝，

∴tan（α＋β）＝＝＝1.

1

由2sin2α－sinαcosα－3cos2α＝0，得（2sinα－3cosα）·

（sinα＋cosα）＝0，∵α∈，∴sinα＋cosα>

0，

∴2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，

∴cosα＝，sinα＝，

∴

＝＝.

解：

（1）由题意得（sinα＋cosα）2＝，

即1＋sin2α＝，∴sin2α＝，

又2α∈（0，），∴cos2α＝＝，

∴tan2α＝＝.

（2）∵β∈，β－∈（0，），sin（β－）＝，

∴cos（β－）＝.

于是sin2＝2sincos＝.

又sin2＝－cos2β，∴cos2β＝－.

又2β∈，∴sin2β＝，

又cos2α＝＝，α∈，

∴cosα＝，sinα＝.

∴cos（α＋2β）＝cosαcos2β－sinαsin2β

＝×

（－）－×

（1）∵f（x）＝sin＋sin

＝sin＋sin＝2sin.

∴T＝2π，f（x）的最小值为－2.

（2）证明：

∵cos（β－α）＝，cos（β＋α）＝－，

∴cosβcosα＋sinβsinα＝，cosβcosα－sinβsinα＝－，

两式相加，得2cosβcosα＝0，

∵0<

β≤，∴β＝.

由

（1）知f（x）＝2sin，

∴[f（β）]2－2＝4sin2－2＝4×

2－2＝0.