两角和与差的正弦余弦和正切公式专题及答案Word文件下载.docx
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么sin(α-β)等于()
A.B.C.-D.-
6.已知θ为第二象限角,sin(π-θ)=,则cos的值为()
A.B.C.±
D.±
7.在△ABC中,tanA+tanB+=tanAtanB,则C等于()
A.B.C.D.
8.若=,则tan2α等于()
A.B.-C.D.-
9.已知cosα=,cos(α+β)=-,且α、β∈,则cos(α-β)的值等于()
10.如图所示,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED=()
二、填空题
11.=________.
12.若α∈(0,),且sin2α+cos2α=,则tanα的值等于________.
13.已知tanα,tanβ是lg(6x2-5x+2)=0的两个实根,则tan(α+β)=________.
14.已知α∈,且2sin2α-sinα·
cosα-3cos2α=0,则=________.
三、解答题
15.已知sinα+cosα=,α∈(0,),sin(β-)=,β∈(,).
(1)求sin2α和tan2α的值;
(2)求cos(α+2β)的值.
16.已知函数f(x)=sin+cos,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值;
(2)已知cos(β-α)=,cos(β+α)=-,0<
α<
β≤,求证:
[f(β)]2-2=0.
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
解析:
因为f(x)=sinx-cosx=sin(x-),所以f=sin=sin=-.
答案:
C
sin+sinα=⇒sincosα+cossinα+sinα=⇒sinα+cosα=⇒sinα+cosα=,故sin=sinαcos+cosαsin=-
=-.
D
sin47°
=sin(30°
+17°
)=sin30°
cos17°
+cos30°
sin17°
,
∴原式==sin30°
=.
y==,
当0<
时,0<
tanx<
1,
设t=tanx,则0<
t<
1,y==≥4,
当且仅当t=1-t,即t=时,等号成立.
因为α是第二象限角,且sinα=,
所以cosα=-=-.
又因为β是第四象限角,cosβ=,
所以sinβ=-=-.
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=×
-(-)×
(-)==.
A
由θ为第二象限角,可知为第一或第三象限角.
由sin(π-θ)=,可知sinθ=,
∴cosθ=-.
∴2cos2=cosθ+1=,∴cos=±
.
由已知得tanA+tanB=-(1-tanAtanB),
∴=-,即tan(A+B)=-.
又tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=,
0<
C<
π,∴C=.
===,
∴tanα=2,∴tan2α===-,
故选D.
∵α∈(0,),∴2α∈(0,π).
∵cosα=,∴cos2α=2cos2α-1=-,
∴sin2α==,
而α,β∈,∴α+β∈(0,π),
∴sin(α+β)==,
∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]
∴cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)
=(-)×
(-)+×
因为四边形ABCD是正方形,且AE=AD=1,所以∠AED=,
在Rt△EBC中,EB=2,BC=1,
所以sin∠BEC=,cos∠BEC=.
sin∠CED=sin(-∠BEC)
=cos∠BEC-sin∠BEC=×
(-)=.
B
=
==2.
2
由sin2α+cos2α=得sin2α+1-2sin2α=1-sin2α=cos2α=,∵α∈(0,),∴cosα=,∴α=,∴tanα=tan=.
由lg(6x2-5x+2)=0,得6x2-5x+1=0,
∴由题意知tanα+tanβ=,tanα·
tanβ=,
∴tan(α+β)===1.
1
由2sin2α-sinαcosα-3cos2α=0,得(2sinα-3cosα)·
(sinα+cosα)=0,∵α∈,∴sinα+cosα>
0,
∴2sinα=3cosα,又sin2α+cos2α=1,
∴cosα=,sinα=,
∴
==.
解:
(1)由题意得(sinα+cosα)2=,
即1+sin2α=,∴sin2α=,
又2α∈(0,),∴cos2α==,
∴tan2α==.
(2)∵β∈,β-∈(0,),sin(β-)=,
∴cos(β-)=.
于是sin2=2sincos=.
又sin2=-cos2β,∴cos2β=-.
又2β∈,∴sin2β=,
又cos2α==,α∈,
∴cosα=,sinα=.
∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β
=×
(-)-×
(1)∵f(x)=sin+sin
=sin+sin=2sin.
∴T=2π,f(x)的最小值为-2.
(2)证明:
∵cos(β-α)=,cos(β+α)=-,
∴cosβcosα+sinβsinα=,cosβcosα-sinβsinα=-,
两式相加,得2cosβcosα=0,
∵0<
β≤,∴β=.
由
(1)知f(x)=2sin,
∴[f(β)]2-2=4sin2-2=4×
2-2=0.