小学简单排列组合Word下载.docx

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n!

=1×

n=n×

（n-1）!

n的双阶乘：

当n为奇数时表示不大于n的所有奇数的乘积。

如：

7!

!

5×

7

当n为偶数时表示不大于n的所有偶数的乘积（除0外）

8!

=2×

4×

6×

8

小于0的整数-n的阶乘表示：

（-n）！

=1/（n+1）!

4．20以内的数的阶乘

0！

=1，注意（0的阶乘是存在的）

1！

=1，2！

=2，3！

=6，

4！

=24，5！

=120，6！

=720，

7！

=5,040，8！

=40,3209！

=362,880

10！

=3,628,80011！

=39,916,80012！

=479,001,600

13！

=6,227,020,80014！

=87,178,291,200

15！

=1,307,674,368,00016！

=20,922,789,888,000

17！

=355,687,428,096,00018！

=6,402,373,705,728,000

19！

=121,645,100,408,832,00020！

=2,432,902,008,176,640,000

另外，数学家定义，0！

=1，所以0！

=1！

5．定义范围

通常我们所说的阶乘是定义在自然数范围里的，小数没有阶乘，像0.5！

，0.65！

，0.777！

都是错误的。

二．排列组合

1．排列组合是组合学最基本的概念。

排列就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。

组合就是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。

排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。

排列组合公式

公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。

N-元素的总个数

R要选择的元素个数

感叹号！

表示阶乘：

9！

＝9×

8×

7×

1

从N倒数r个，表达式应该为n×

（n-1）×

（n-2）..（n-r+1），因为从n到（n-r+1）个数为n－（n-r+1）+1＝r

2．定义及公式

　　排列的定义及其计算公式：

从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号P（n,m）表示。

P（n,m）=n（n-1）（n-2）……（n-m+1）=。

　　组合的定义及其计算公式：

从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。

用符号C（n,m）表示。

C（n,m）=P（n,m）/m!

=

。

3．基本计数原理

A．加法原理和分类计数法

1．加法原理：

做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

2．第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。

3．分类的要求：

每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；

两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；

完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。

B．乘法原理和分步计数法

1．乘法原理乘法原理：

做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×

m2×

m3×

…×

mn种不同的方法。

2．合理分步的要求

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；

各步计数相互独立；

只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

4．例题分析

例：

有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？

分析：

123和213是两个不同的排列数。

即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9×

7个三位数。

计算公式＝P（3，9）＝9×

7,（从9倒数3个的乘积）

有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？

213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。

即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C（3,9）=（9×

7）/（3×

1）

例.从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有多少个？

首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。

设a,b,c成等差，∴2b=a+c,可知b由a,c决定，

又∵2b是偶数，∴a,c同奇或同偶，即：

分别从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，A（10,2）*2=90*2，因而本题为180。

例.某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?

对实际背景的分析可以逐层深入：

（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步；

（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法；

（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右；

从而，任务可叙述为：

从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数。

本题答案为：

C（8,3）=56。

例．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种？

条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。

第一类：

A在第一垄，B有3种选择；

第二类：

A在第二垄，B有2种选择；

第三类：

A在第三垄，B有1种选择，

同理A、B位置互换，共12种。

例．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有多少种？

（A）240（B）180（C）120（D）60

显然本题应分步解决。

（一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法；

（二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法。

（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法；

（四）由于选取与顺序无关，因

（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。

或分步

（1）从6双中选出一双同色的手套，有C（1,6）=6种方法

（2）从剩下的5双手套中任选两双，有C（2,5）=10种方法

（3）从两双中手套中分别拿两只手套，有C（1,2）×

C（1,2）=4种方法。

同样得出共

（1）×

（2）×

（3）=240种。

例．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。

每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有C（6,2）×

C（4,2）×

C（2,2）=90种。

例．在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。

现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?

采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？

分类的标准必须前后统一。

以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。

这两个人都去当钳工，C（2,2）×

C（5,2）×

C（4,4）=10种；

这两人有一个去当钳工，C（2,1）×

C（5,3）×

C（5,4）=100种；

这两人都不去当钳工，C（5,4）×

C（6,4）=75种。

因而共有185种。

例．现有印着0，1，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?

有同学认为只要把0，1，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。

抽出的三数含0，含9，有32种方法；

抽出的三数含0不含9，有24种方法；

抽出的三数含9不含0，有72种方法；

抽出的三数不含9也不含0，有24种方法。

因此共有32+24+72+24=152种方法。

例．停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法有多少种?

把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有A（9,8）=362880种停车方法。

例．六人站成一排，求

（1）甲、乙即不再排头也不在排尾的排法数

（2）甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数

（1）按照先排出首位和末尾再排中间四位分步计数

排出首尾和末尾、因为甲乙不再首尾和末尾，那么首尾和末尾实在其它四位数选出两位进行排列、一共有A（4,2）=12种；

由于六个元素中已经有两位排在首尾和末尾，因此中间四位是把剩下的四位元素进行排列，

共A（4,4）=24种；

根据乘法原理得即不再排头也不在排尾数共12×

24=288种。

（2）第一类：

甲在排尾，乙在排头，有A（4,4）种方法。

甲在排尾，乙不在排头，有3×

A（4,4）种方法。

乙在排头，甲不在排尾，有3×

第四类：

甲不在排尾也不再排头，乙不在排头也不再排尾，有6×

A（4,4）种方法（排除相邻）。

共A（4,4）+3×

A（4,4）+3×

A（4,4）+6×

A（4,4）=312种。

例．对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。

若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?

本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。

第一步：

第五次测试的有C（4,1）种可能；

第二步：

前四次有一件正品有C（6,1）中可能。

第三步：

前四次有A（4,4）种可能。

∴共有576种可能。

例.8人排成一队

（1）甲乙必须相邻

（2）甲乙不相邻

（3）甲乙必须相邻且与丙不相邻

（4）甲乙必须相邻，丙丁必须相邻

（5）甲乙不相邻，丙丁不相邻

（1）甲乙必须相邻，就是把甲乙捆绑（甲乙可交换）和7人排列A（