函数及数列的极限的强化练习题答案Word下载.docx

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10．

原式

11．若

左式=故

12．=

解：

当时，～∴原式==

三、计算题（每小题8分，共64分）

13．求函数的定义域

∴函数的定义域为

14．设求

故

15．设，的反函数，求

（1）求∴反解出：

互换位置得

（2）

16．判别的奇偶性。

解法

（1）：

的定义域，关于原点对称

为奇函数

解法

（2）：

故为奇函数

17．已知为偶函数，为奇函数，且，求及

已知

即有

得

故

故

18．设，求的值。

19．求

（1）拆项，

（2）原式=

20．设

求

原式=

四、综合题（每小题10分，共20分）

21．设=，求=

并讨论的奇偶性与有界性。

（1）求

（2）讨论的奇偶性

（3）讨论的有界性

有界

22．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V表示成中心角的函数。

（1）列出函数关系式，设漏斗高为，底半径为，依题意：

漏斗容积V=

（2）函数的定义域

五、证明题（每小题9分，共18分）

23．设为定义在的任意函数，证明可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。

证：

（1）

（2）令

为偶函数

（3）令

（4）综上所述：

偶函数+奇函数

24设满足函数方程2+

=，证明为奇函数。

令函数与自变量的记号无关

（2）消去，求出

（3）的定义域

又

＊选做题

1已知，求

且

∴由夹逼定理知，原式

2若对于任意的，函数满足：

，证明为奇函数。

解

（1）求：

令

第二讲：

函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案

一、单项选择题（每小题4分，共24分）

1．下列极限正确的（）

A．B．不存在

C．D．

选C

注：

2．下列极限正确的是（）

A．B．

C．

D．

选A

（洛必达法则）

3．若，，则下列正确的是（）

A．

B．

C．

选D

4．若，

则（）

A．3B．C．2D．

选B

5．设且存在，则=（）

A．-1B．0C．1D．2

　　　　　　选C

6．当时，是比高阶无穷小，则（）

A．B．

C．为任意实数D．

故选A

二、填空题（每小题4分，共24分）

7．

原式

8．

9．

10．已知存在，

则=

11．

又因为洛必达法则可得极限为1故原式=1

12．若

且,则正整数=

13．求

14．求

15．求

令，当时，

16．求

注:

17．求

原式

18．设且存在，求的值。

19．

20．求

四、证明题（共18分）

21．当时且

证明

证毕

22．当时，证明以下四个差函数的等价无穷小。

（1）

（3）

（4）

当时，

五、综合题（每小题10分，共20分）

23．求

24．已知，求常数的值。

（1）∵原极限存在且

答

选做题

第三讲：

函数的连续性与导数、微分的概念的强化练习题答案

一、单项选择题（每小题4分，共24分）

1．若为是连续函数，

且，

则（）

A．-1B．0

C．1D．不存在

，选B

2．要使在点处连续，应给补充定义的数值是（）

A．B．

C．D．

3．若，则下列正确的是（）

A．

选B

4．设

且在处可导，

则是的（）

A．可去间断点B．跳跃间断点

C．无穷间断点D．连续点

，故是的第一类可去间断点。

选A

5．在处（　）

A．极限不存在B．极限存在但不连续

C．连续但不可导D．可导但不连续

，且

在连续，又

不存在，在不可导选C

6．设在可导，则为（）

（1）在连续，

，代入得，选C

二、填空题（每小题4分，共24分）

7．设为连续奇函数，则=

（1）为奇函数，

又在连续

8．若为可导的偶函数，则

（1）为偶函数，

（2）可导，故

即

9．设是曲线的

一条切线，则

（1）

（2）故

10．若满足：

则=

11．设在连续，且=4，

则

12．的间断点个数为

令

为间断点，

故有三个间断点

三、计算题（每小题8分，共64分）

13．已知

在上连续，求的值

在连续

14．讨论在连续性

（1）在处，

在处连续

（2）在处，

在不连续

15．设有连续的导函数，且若在连续，求常数A。

且，答

16．设在可导，求的值。

（1）在连续，

故有

（2）在可导

，答

17．设在可导，求与

且，故有

答：

18．讨论在是否可导，其中在连续。

当时，在连续，

当时，在不连续

19．求的间断点，并指出间断点类型

（1）间断点：

（2）在处：

是的第一类间断点。

（3）在处：

为的第二类无穷间断点。

20．设指出的间断点，并判断间断点的类型。

（1）为间断点，可能是间断点。

（2）在处：

是的第二类无穷间断点

（3）在处：

是的第一类跳跃间断点

四、综合题（每小题10分，共20分）

21．求的间断点，并判别间断点的类型。

（1）间断点：

是的第一类可去间断点

（4）在处：

22．已知，在可导，求之值

故有

（3）在连续，

即

（4）在可导：

由（3）（4）解得

23．证明在区间内至少有两个实根。

由零点定理知，

=0在上至少有一个实根。

（2）在连续,且

=0在上至少有一个实根

（3）综上所述，=0在上至少有两个实根

24．设，证明

（1）当时在连续，当时，在可导

当时，在连续

当时，在可导

总之，当时，在连续

设对于任意的，函数满足

且证明

（1）令，，即

（2）

第四讲：

导数与微分的计算方法的强化练习题答案

1．设则（）

A．1B．3C．-1D．-3

（2）

选C

2．设

则（）

A．B．

本题用导数定义计算更方便！

3．设，则=（）

A．B．

4．设由方程所确定，则曲线在点（0，1）的切线斜率=（）

A．2B．-2

C．D．-

5．设为可导偶函数，且，则（）

A．0B．1

C．-1D．2

（3）选A

6．设在有连续导数，且,则（）

A．1B．-1

C．2D．-2

（2）原式

7．若，

8．设，

9．直线与轴平行，且与曲线相切，则切点坐标是

故有切点坐标

10．由方程确定，则

当时，得

，

11．设，

12．设，则=

13．设，求。

（3）

14．设，求及。

15．方程确定，求

（1）=0

（2）当时，

，

16．设，求

17．设，确定，求。

18．设，求

（1）变形，

19．设

由方程所确定，其中F可导，且

，求

（2）当时，

20．已知，求

四、证明题（本题8分）

21．证明抛物线任一点处的切线所截两坐标轴的截距之和等于。

（1）求切线方程：

设切点坐标为

故有切线方程：

（2）求截距：

令，

解得

（3）证明两截距之和为（即）

+

五、综合题（每小题10分，共30分）

22．若曲线与在点相切，求常数。

（1）求两曲线的斜率

在上，

2）求之值：

依题意，两曲线在点相切，

又点在曲线上

23．设单调，且二阶可导，求及

（2）=

=

24．设，求

1．设可导，且，求

（2）∵（3）

2．设有任意阶导数，且

∵

∴

3．设可导且，

（1）当时

（2）当时：

（3）综上所述：