高二数学上81椭圆及其标准方程优秀教案.docx

高二数学上81椭圆及其标准方程优秀教案.docx

《高二数学上81椭圆及其标准方程优秀教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学上81椭圆及其标准方程优秀教案.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高二数学上81椭圆及其标准方程优秀教案

2019-2020年高二数学上8.1椭圆及其标准方程优秀教案

一、教学目标

1.知识教学点

使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．

2.能力训练点

通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．

3.学科渗透点

通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．

二、教材分析

1．重点：

椭圆的定义和椭圆的标准方程．

（解决办法：

用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．）

2．难点：

椭圆的标准方程的推导．

（解决办法：

推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．）

3．疑点：

椭圆的定义中常数加以限制的原因．

（解决办法：

分三种情况说明动点的轨迹．）

三、活动设计

提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．

四、教学过程

（一）椭圆概念的引入

前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：

问题1：

什么叫做曲线的方程？

求曲线方程的一般步骤是什么？

其中哪几个步骤必不可少？

对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识．

提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形．

问题2：

圆的几何特征是什么？

你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？

一般学生能回答：

“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的轨迹命题如：

“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．”

“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．”

“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．”

教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．

比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？

这时教师示范引导学生绘图：

取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点（如图2-13），当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．

教师进一步追问：

“椭圆，在哪些地方见过？

”有的同学说：

“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：

“人造卫星运行轨道”等……

认识椭圆（幻灯片）

在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：

平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．

学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：

（1）将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：

“在平面内”．

（2）这里的常数有什么限制吗？

教师边演示边提示学生注意：

若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：

“此常数大于|F1F2|”．

（二）椭圆标准方程的推导

1．标准方程的推导

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．

如何建立椭圆的方程？

根据求曲线方程的一般步骤，可分：

（1）建系设点；

（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤．

（1）建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．

以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图2-14）．设|F1F2|=2c（c＞0），M（x，y）为椭圆上任意一点，则有F1（-1，0），F2（c，0）．

（2）点的集合

由定义不难得出椭圆集合为：

P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．

（3）代数方程

（4）化简方程

化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：

①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）

②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要

（a＞b＞0）．

关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．

示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1（-c，0）、F2（c，0）．这里c2=a2-b2．

2．两种标准方程的比较（引导学生归纳）

F1（-c，0）、F2（c，0），这里c2=a2-b2；

F1（-c，0）、F2（0，c），这里c2=a2+b2，只须将

（1）方程的x、y互换即可得到．

教师指出：

在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．

不

同

点

标准方程

图形

焦点坐标

F1（－c,0）,F2（c,0）

F1（－c,0）,F2（c,0）

共

同

点

定义

a、b、c的关系

a>b>0，b，c大小不确定。

焦点的位置的判定

x²,y²项中哪个分母大，焦点就在那一条轴上。

（三）例题与练习

例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；

（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点

解：

（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

∵　2a＝10，2c＝8，

∴　a＝5，c＝4．

∴　b2=a2－c2=52－42=9．

所以所求椭圆的标准方程为

（2）因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为

由椭圆的定义知，

又c=2，

∴　b2=a2－c2＝10－4=6．

所以所求椭圆的标准方程为

例2　已知B、C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程．

分析：

在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系．为选择适当的坐标系，常常需要画出草图．

在图8－4中，由△ABC的周长等于16，|BC|＝6可知，点A到B、C两点的距离的和是常数，即|AB|＋|AC|=16－6=10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图（图8－4）．

解：

如图8－4，建立坐标系，使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合．

由已知|AB|＋|AC|＋|BC|=16，|BC|=6，有|AB|＋|AC|=10，

即点A的轨迹是椭圆，且

2c＝6，2a＝16－6＝10，

∴　c＝3，a＝5，b2＝52－32＝16．

但当点A在直线BC上，即y＝0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是

注　求出曲线的方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件．

练习1、椭圆的a=_________,b=__________,c=____________.

焦点坐标是。

练习2、动点P到两个定点的距离之和为8,则P点的轨迹为（）

A、椭圆B、线段F1F2C、直线F1F2D、不能确定

练习3、椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是_______。

练习4、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）焦点在x轴上，a=4,b=1

（2）

练习5、方程x2+ky2=2的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（）

A、（0，+∞）B、（0，2）C、（1，+∞）D、（0，1）

练习6、方程表示焦点在X轴上的椭圆，

则k的取值范围为.

引申：

在平面直角坐标系中，已知ΔABC中B（-3,0），C（3,0）,且三边|AC|,|BC|,|AB|长依次成等差数列，求顶点A的轨迹方程。

（四）小结

1．定义：

椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹．

2．焦点：

F1（-c，0），F2（c，0）．F1（0，-c），F2（0，c）．

3.讨论了求椭圆标准方程的方法：

注意：

求出曲线的方程之后，要验证方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点应在所得方程后注明限制条件。

4.求满足条件的点的轨迹方程时：

（1）若不清楚轨迹类型：

用坐标法；

（2）若清楚轨迹类型，则建立适当的坐标系，设出其方程，再确定方程中的参数即可。

五、布置作业

方程表示__________________________.

方程表示_________________________.

3、P96习题8.11、3、4、5.

4、《轻巧夺冠》第64页能力测试

2019-2020年高二数学上8.2椭圆的简单几何性质

（一）优秀教案

一、教学目标

（一）知识教学点

通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．

（二）能力训练点

通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．

（三）学科渗透点

使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．

二、教材分析

1．重点：

椭圆的几何性质及初步运用．

（解决办法：

引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．）

2．难点：

椭圆离心率的概念的理解．

（解决办法：

先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，）

3．疑点：

椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．

（解决办法：

利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．）

三、活动设计

提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．

四、教学过程

（一）复习提问

1．椭圆的定义是什么？

2．椭圆的标准方程是什么？

3.椭圆中a,b,c的关系是？

学生口述，教师板书．

（二）几何性质

根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是b＞0）来研究椭圆的几何性质．说明：

椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．

1．范围

即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里（图2-18）．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．

2．对称性

先请大家阅读课本椭圆的几何性质2．

设问：

为什么“把x换成-x，或把y换成-y？

，或把x、y同时换成-x、-y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢？

事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P（x，y）在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q（-x，y）也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．类似可以证明其他两个命题．

同时向学生指出：

如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．如：

如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．

事实上，设P（x，y）在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1（x，-y）必在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2（-x，y）必在曲线上．因P（x，y）、P2（-x，y）都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．

最后指出：

x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．

3．顶点

只须令x=0，得y=±b，点B1（0，-b）、B2（0，b）是椭圆和y轴的两个交点；令y=0，得x=±a，点A1（-a，0）、