高中数学新学案同步 必修2苏教版 第2章 平面解析几何初步 214Word格式.docx

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一组

无数组

无解

直线l1，l2的公共点个数

一个

无数个

零个

直线l1，l2的位置关系

相交

重合

平行

1．若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．（　√　）

2．无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．（　×

　）

类型一　两直线的交点问题

例1　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．

（1）l1：

2x－y＝7和l2：

3x＋2y－7＝0；

（2）l1：

2x－6y＋4＝0和l2：

4x－12y＋8＝0；

（3）l1：

4x＋2y＋4＝0和l2：

y＝－2x＋3.

解　

（1）方程组的解为

因此直线l1和l2相交，交点坐标为（3，－1）．

（2）方程组有无数个解，

这表明直线l1和l2重合．

（3）方程组无解，

这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.

反思与感悟　两条直线相交的判定方法

方法一

联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交

方法二

两直线斜率都存在且斜率不相等

方法三

两直线的斜率一个存在，另一个不存在

跟踪训练1　直线y＝2x与直线x＋y＝3的交点坐标是________．

答案　（1,2）

解析　联立两方程得解得

所以两直线的交点坐标为（1,2）．

例2　已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________．

答案　

解析　由得

由得

∴－<

a<

2.

引申探究

若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限，则a的取值范围又如何？

解　由例2得交点坐标为，

则由得a<

－.

反思与感悟　求解此类问题关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；

再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围．

跟踪训练2　若直线l1：

y＝kx＋k＋2与l2：

y＝－2x＋4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是__________．

k<

类型二　求过两条直线交点的直线方程

例3　求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．

解　方法一　解方程组得

所以两直线的交点坐标为.

又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，

所以所求直线的斜率为－3.

故所求直线方程为y＋＝－3，

即15x＋5y＋16＝0.

方法二　设所求直线方程为

（2x－3y－3）＋λ（x＋y＋2）＝0，

即（2＋λ）x＋（λ－3）y＋（2λ－3）＝0.（*）

由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，

所以有

得λ＝.

代入（*）式，

得x＋y＋＝0，

本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解．

解　设所求直线方程为（2x－3y－3）＋λ（x＋y＋2）＝0，

即（2＋λ）x＋（λ－3）y＋（2λ－3）＝0，

由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，

所以3（2＋λ）＋（λ－3）×

1＝0，解得λ＝－，

所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.

反思与感悟　求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0与l2：

A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（不包括l2的方程），再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程．

跟踪训练3　直线l经过原点，且经过另外两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为______________．

答案　2x－y＝0

解析　设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ（x－y－1）＝0，

即（2＋λ）x＋（3－λ）y＋8－λ＝0，

因为l过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x－y＝0.

类型三　直线恒过定点问题

例4　求证：

不论m取什么实数，直线（2m－1）x＋（m＋3）y－（m－11）＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标．

证明　方法一　对于方程（2m－1）x＋（m＋3）y－（m－11）＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；

令m＝1，得x＋4y＋10＝0.

解方程组

得两条直线的交点坐标为（2，－3）．

将点（2，－3）代入直线，得（2m－1）×

2＋（m＋3）×

（－3）－（m－11）＝0.

这表明不论m取什么实数，

所给直线均经过定点（2，－3）．

方法二　将已知方程（2m－1）x＋（m＋3）y－（m－11）＝0整理为（2x＋y－1）m＋（－x＋3y＋11）＝0.

由于m取值的任意性，有

解得

所以不论m取什么实数，

反思与感悟　解含有参数的直线恒过定点的问题

（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．

（2）含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k（x－x0）的形式，则表示直线必过定点（x0，y0）．

跟踪训练4　不论m为何实数，直线（m－1）x＋（2m－1）y＝m－5恒过的定点坐标是________________．

答案　（9，－4）

解析　方法一　取m＝1，得直线y＝－4.

取m＝，得直线x＝9.

故两直线的交点为（9，－4），

下面验证直线（m－1）x＋（2m－1）y＝m－5恒过点（9，－4）．将x＝9，y＝－4代入方程，左边＝（m－1）×

9－4×

（2m－1）＝m－5＝右边，故直线恒过定点（9，－4）．

方法二　直线方程可变形为（x＋2y－1）m－（x＋y－5）＝0，∵对任意m该方程恒成立，

∴解得

故直线恒过定点（9，－4）.

1．已知直线l1：

3x＋4y－5＝0与l2：

3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是__________．

2．已知直线y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为________．

由题意知y＝ax－2过点（－9，－8），

∴－8＝－9a－2，解得a＝.

3．不论m取什么实数，直线mx＋y－m＝0都过定点的坐标为________．

答案　（1,0）

解析　由题意可知m（x－1）＋y＝0.

由可知

故不论m取什么实数，直线mx＋y－m＝0都过定点（1,0）．

4．下列各组直线中，两直线相交的为________．（填序号）

①y＝x＋2和y＝1；

②x－y＋1＝0和y＝x＋5；

③x＋my－1＝0（m≠2）和x＋2y－1＝0；

④2x＋3y＋1＝0和4x＋6y－1＝0.

答案　①③

解析　①两直线显然相交；

②两直线平行；

③直线x＋my－1＝0过点（1,0），直线x＋2y－1＝0过点（1,0），故两直线相交；

④两直线平行．

5．直线l过直线2x－y＋4＝0与x－3y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0，则直线l的方程是________．

答案　10x＋5y＋8＝0

解析　由解得交点坐标为，故直线l过点，斜率为－2，所以直线l的方程为y－＝－2，即为10x＋5y＋8＝0.

1．方程组有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.

2．直线A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R）是过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线，不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0.

一、填空题

1．若两条直线2x＋3y－m＝0和x－my＋12＝0的交点在x轴上，那么m的值是________．

答案　－24

解析　在2x＋3y－m＝0中，令y＝0，得x＝；

在x－my＋12＝0中，令y＝0，得x＝－12.

由题意知＝－12，故m＝－24.

2．若直线x－2y－2k＝0与直线2x－3y－k＝0的交点在直线3x－y＝0上，则k的值为________．

答案　0

解析　由得交点坐标为（－4k，－3k），

代入3x－y＝0，解得k的值为0.

3．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是____________．

答案　x－3y＋13＝0

解析　直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点为（－1,4），与3x＋y－1＝0垂直，得斜率为，由点斜式，得y－4＝（x＋1），即x－3y＋13＝0.

4．过l1：

3x－5y－10＝0和l2：

x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：

x＋2y－5＝0的直线方程为______________．

答案　8x＋16y＋21＝0

解析　由解得交点坐标为，故所求直线过点且与x＋2y－5＝0平行，可设方程为x＋2y＋C＝0（C≠－5），所以＋2×

＋C＝0，故C＝，所以所求直线方程为x＋2y＋＝0，即为8x＋16y＋21＝0.

5．已知点A（0，－1），点B在直线x－y＋1＝0上，直线AB垂直于直线x＋2y－3＝0，则点B的坐标是__________．

答案　（2,3）

解析　∵直线AB垂直于直线x＋2y－3＝0，

∴kAB＝2.又直线AB过点（0，－1），

∴直线AB的方程为y＝2x－1，

解方程组得

∴B（2,3）．

6．若a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过的定点坐标是__________．

解析　因为a＋2b＝1，所以a＝1－2b，所以直线ax＋3y＋b＝0可化为（1－2b）x＋3y＋b＝0，即x＋3y＋（－2x＋1）b＝0.由解得

即直线ax＋3y＋b＝0必过的定点坐标是.

7．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足坐标为（1，p），则m－n＋p＝________.

答案　20

解析　由两直线互相垂直，得－×

＝－1，解得m＝10，

又垂足坐标为（1，p），代入直线10x＋4y－2＝0，得p＝－2，

将（1，－2）代入直线2x－5y＋n＝0，得n＝－12，

所以m－n＋p＝20.

8．已知三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值范围是__________．

答案　a≠±

1

解析　∵x＋y＝0与x－y＝0交于原点，

∴无论a为何值，直线x＋ay＝3总不经过原点，故只需直线x＋ay＝3与另两条直线均不平行即可，即a≠±

1.

9．已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx＋1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是________．（填序号）

①无论k，P1，P2如何，总是无解；

②无论k，P1，P2如何，总有唯一的解；

③存在k，P1，P2，使之恰有两解；

④存在k，P1，P2，使