K12教育学习资料高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第3节简单的线性规划高考AB卷理Word格式文档下载.docx
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解析 满足约束条件的可行域为以A（－2，－1），B（0，1），C为顶点的三角形内部及边界，过C时取得最大值为.
答案
3.（2016·
全国Ⅰ，16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；
生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.
解析 设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为目标函数z＝2100x＋900y.
作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为（60，100），（0，200），（0，0），（90，0），在（60，100）处取得最大值，zmax＝2100×
60＋900×
100＝216000（元）.
答案 216000
4.（2015·
全国Ⅰ，15）若x，y满足约束条件则的最大值为________.
解析 约束条件下的可行域如下图，由＝，则最大值为3.
答案 3
5.（2014·
大纲全国，14）设x、y满足约束条件则z＝x＋4y的最大值为________.
解析 作出约束条件下的平面区域，如图所示.由图可知当目标函数z＝x＋4y经过点B（1，1）时取得最大值，且最大值为1＋4×
1＝5.
答案 5
与线性规划有关的综合性问题
6.（2014·
全国Ⅰ，9）不等式组的解集记为D.有下面四个命题：
p1：
∀（x，y）∈D，x＋2y≥－2，
p2：
∃（x，y）∈D，x＋2y≥2，
p3：
∀（x，y）∈D，x＋2y≤3，
p4：
∃（x，y）∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是（ ）
A.p2，p3B.p1，p4
C.p1，p2D.p1，p3
解析 画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A（2，－1）时，取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.
答案 C
1.（2015·
广东，6）若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为（ ）
A.B.6
C.D.4
解析 不等式组所表示的可行域如下图所示，
由z＝3x＋2y得y＝－x＋，依题当目标函数直线l：
y＝－x＋经过A时，z取得最小值即zmin＝3×
1＋2×
＝，故选C.
2.（2015·
北京，2）若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为（ ）
A.0B.1C.D.2
解析 可行域如图所示.目标函数化为y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z，过点A（0，1）时，z取得最大值2.
答案 D
3.（2015·
福建，5）若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最小值等于（ ）
A.－B.－2
C.－D.2
解析 如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z＝2x－y可化为y＝2x－z，由图形可知当y＝2x－z过点时z最小，zmin＝2×
（－1）－＝－，故选A.
答案 A
山东，6）已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝（ ）
A.3B.2
C.－2D.－3
解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.
易知A（2，0），由得B（1，1）.
由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.
∴当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在O（0，0）处取得最大值，最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D选项；
当a＝2或3时，z＝ax＋y在A（2，0）处取得最大值，∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故选B.
5.（2015·
陕西，10）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
甲
乙
原料限额
A（吨）
3
2
12
B（吨）
1
8
A.12万元B.16万元
C.17万元D.18万元
解析 设甲、乙的产量分别为x吨，y吨，
由已知可得
目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：
可得目标函数在点A处取到最大值.
由得A（2，3）.
则zmax＝3×
2＋4×
3＝18（万元）.
广东，3）若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝（ ）
A.5B.6
C.7D.8
解析 作出可行域（如图中阴影部分所示）后，结合目标函数可知，当直线y＝－2x＋z经过点A时，z的值最大，由⇒则m＝zmax＝2×
2－1＝3.当直线y＝－2x＋z经过点B时，z的值最小，由⇒则n＝zmin＝2×
（－1）－1＝－3，故m－n＝6.
7.（2014·
安徽，5）x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）
A.或－1B.2或
C.2或1D.2或－1
解析 法一 由题中条件画出可行域，可知A（0，2），B（2，0），C（－2，－2），则zA＝2，zB＝－2a，zC＝2a－2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zA＝zB>
zC或zA＝zC>
zB或zB＝zC>
zA，解得a＝－1或a＝2.
法二 目标函数z＝y－ax可化为y＝ax＋z，令l0：
y＝ax，平移l0，则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意，故a＝－1或a＝2.
8.（2016·
山东，4）若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是（ ）
A.4B.9
C.10D.12
解析 满足条件的可行域如图阴影部分（包括边界），x2＋y2是可行域上动点（x，y）到原点（0，0）距离的平方，显然，当x＝3，y＝－1时，x2＋y2取最大值，最大值为10.故选C.
9.（2016·
北京，2）若x，y满足则2x＋y的最大值为（ ）
A.0B.3
C.4D.5
解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，作直线2x＋y＝0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，由得所以A点坐标为（1，2），可得2x＋y的最大值为2×
1＋2＝4.
10.（2014·
湖南，14）若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________.
解析 画出可行域（图略），由题意可知不等式组表示的区域为一三角形，平移参照直线2x＋y＝0，可知在点（k，k）处z＝2x＋y取得最小值，故zmin＝2k＋k＝－6.解得k＝－2.
答案 －2
11.（2016·
四川，7）设p：
实数x，y满足（x－1）2＋（y－1）2≤2，q：
实数x，y满足则p是q的（ ）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 如图，（x－1）2＋（y－1）2≤2①表示圆心为（1，1），半径为的圆内区域所有点（包括边界）；
②表示△ABC内部区域所有点（包括边界）.实数x，y满足②则必然满足①，反之不成立.则p是q的必要不充分条件.故选A.
12.（2014·
山东，9）已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by（a>
0，b>
0）在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为（ ）
A.5B.4
C.D.2
解析 法一 不等式组表示的平面区域如图所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A（2，1）处取得最小值，故2a＋b＝2，两端平方得4a2＋b2＋4ab＝20，又4ab＝2×
a×
2b≤a2＋4b2，所以20≤4a2＋b2＋a2＋4b2＝5（a2＋b2），所以a2＋b2≥4，即a2＋b2的最小值为4，当且仅当a＝2b，即b＝，a＝时等号成立.
法二 把2a＋b＝2看作平面直角坐标系aOb中的直线，则a2＋b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a2＋b2的最小值是坐标原点到直线2a＋b＝2距离的平方，即＝4.
13.（2013·
北京，8）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是（ ）
C.D.
解析 图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y＝x－1上的点，只需要可行域的边界点（－m，m）在y＝x－1下方，也就是m<
－m－1，即m<
－.故选C.
14.（2013·
浙江，13）设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.
解析 约束条件所表示的可行域为如图所示的△ABC，其中点A（4，4），B（0，2），C（2，0）.目标函数z＝kx＋y，化为y＝－kx＋z.当－k≤即k≥－时，
目标函数z＝kx＋y，在点A（4，4）取得最大值12，故4k＋4＝12，k＝2，满足题意；
当－k>
即k<
－时，目标函数z＝kx＋y在点B（0，2）取得最大值12，故k·
0＋2＝12，无解，综上可知，k＝2.
答案 2
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