离散数学第3次文档格式.docx
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F_3={〈a,1〉,〈a,2〉},
F_4={〈a,3〉}
4.
用列元法表示下列集合A={x|x∈N且x^2≤9}，则可表示为（
）。
5.
设X={a,b,c,d},Y={1,2,3,4,5}，且有f={<
a,1>
<
b,3>
c,4>
d,4>
}，则domf为（
）、R_f为
和f（x）为（
6.
判断下列命题正确与否：
（1）正整数集N上的小于等于关系“≤”是良序关系。
（
）
（2）In={1,2,…,n}上的小于等于关系“≤”是良序关系。
（3）整数集Z和实数集R上的小于等于关系“≤”是良序关系。
7.
在由n个元素组成的集合上，可以有（
）种不同的二元关系？
若集合A,B的元数分别为|A|=m,|B|=n,试问从A到B有（
8.
设R_1和R_2是集合A上的二元关系，试判断下列命题是否正确？
）（
9.
设R_1和R_2是非空集合A上的等价关系，下列各式哪些是A上的等价关系？
哪些不是A上的等价关系？
举例说明：
⑴A×
A-R_1；
（
）
⑵R_1-R_2；
⑶R_1^2；
⑷r（R_1-R_2）；
⑸R_1∙R_2
10.
对下述论断判断正确与否，在相应括号中键入“Y”或“N”。
设A={2,3,6,12,24,36}，A上的整除关系是一偏序关系，用“≤”表示。
（a）该偏序关系的哈斯图是（
）
（b）“≤”=
{〈2,2〉,〈2,6〉,〈3,3〉,〈3,6〉,〈6,6〉,〈6,12〉,〈12,12〉,〈12,24〉,〈24,24〉,〈36,36〉}
二、计算题（本大题共40分，共4小题，每小题10分）
试将公式化成等价的前束范式：
∀xF（x）→∃xQ（x）；
z）R（x，y，z））z）Q（x，z）∨（∀x）（（∀∀x）P（x）→（∃求等价于下面wff的前束合取范式与前束析取范式：
（
试将公式P∧（P→Q）化为析取范式和合取范式：
设f：
R→R，f（x）=x^2-2；
g：
R→R，g（x）=x+4。
（1）求g°
f，f°
g
（2）问g°
f和f°
g是否为单射、满射、双射？
（3）求出f、g、g°
g中的可逆函数的逆函数。
三、简答题（本大题共20分，共4小题，每小题5分）
设G是有两个奇度点的连通图,设计一个构造G的欧拉道路的算法。
设X={2,3,4,5}，求集合上的关系“<
”、dom<
及ran<
。
设A={1,2,3,4,5},R={<
1,2>
1,5>
2,2>
3,2>
3,1>
4,3>
}，画出R的关系图。
给定集合A={1,2,3,4,5}，在集合A上定义两种关系：
R={<
3,4>
}，S={<
4,2>
2,5>
1,3>
，求R°
S和S°
R的矩阵。
四、证明题（本大题共20分，共2小题，每小题10分）
证明:
∀x∀y（P（x）→Q（y））=∃xP（x）→∀yQ（y）
设<
R,*>
是一个代数系统，*是R上的一个二元运算，使得对于R中的任意元素a,b都有
a*b=a+b+a∙b,试证明：
0是幺元且<
是独异点。
答案：
一、填空题（20分，共10题，每小题2分）
参考答案：
（1）T
（2）F
（3）F
解题方案：
评分标准：
祖先；
后代
F_1,F_2是函数，F_3,F_4不是函数。
若不强调是A到B的函数，则F_4是函数，其定义域为{a}。
{1,2,3}
{a,b,c,d}
{1,3,4}
f（a）=1,f（b）=3,f（c）=4,f（d）=4
正确
错误
整数集Z和实数集R上的小于等于关系“≤”不是良序关系（因为Z或R本身无最小元）。
2^（n^2）
2^（m×
n）
（1）命题正确
（2）命题正确
（3）命题不正确
（1）不是
（2）不是（3）是（4）不是
（5）
是
Y
N
二、计算题（40分，共4题，每小题10分）
∀xF（x）→∃xQ（x）=¬
∀xF（x）∨∃xQ（x）=∃x¬
F（x）∨∃xQ（x）=∃x（¬
F（x）∨Q（x））
∀z）R（x，y，z））∀z）Q（x，z）∨（∃x）（（∀x）P（x）→（（
∀∀∀
z）R（x，y，z））z）Q（x，z）∨（∀x）（（∀x）P（x）∨（∃┐（∀
∀u）R（x，y，u））∀z）Q（x，z）∨（x）（（x）┐P（x）∨（∃（∃
∀u）R（x，y，u））z）Q（x，z）∨（x）（┐P（x）∨（∀（∃
u）（┐P（x）∨Q（x，z）∨R（x，y，u））∀z）（∀∃x）（（前束合取范式
u）（（┐P（x）∧Q（x，z）∧R（x，y，u））∨（┐P（x）∧Q（x，z）∧┐R（x，y，u））∨（┐P（x）∧┐Q（x，z）∧R（x，y，u））∨（┐P（x）∧┐Q（x，z）∧┐R（x，y，u））∨（P（x）∧Q（x，z）∧R（x，y，u））∨（P（x）∧Q（x，z）∧┐R（x，y，u））∨（P（x）∧┐Q（x，z）∧R（x，y，u）））z）（∀∃x）（∀（前束析取范式
┐（P∨Q）↔（P∧Q）
=（﹁（P∨Q）→（P∧Q））∧（（P∧Q）→┐（P∨Q））（等值律）
=（（P∨Q）∨（P∧Q））∧（┐（P∧Q）∨┐（P∨Q））
（蕴涵律）
=（P∨Q）∧（┐P∨┐Q）
（分配律）合取范式
=（┐P∨P）∨（┐P∨Q）∨（┐Q∧P）∨（┐Q∧Q）
（分配律）析取范式
（1）f°
g={〈x,x^2+8x+14〉|x∈R}
g°
f={〈x,x^2
+2〉|x∈R}
（2）g°
f和f°
g均是非单非满函数。
（3）因为g是双射，所以可逆，其逆函数为：
g^（-1）（x）=x-4。
三、简答题（20分，共4题，每小题5分）
step1:
添加连接两个奇度点的边
Step2:
调用一般的欧拉回路的算法
Step3:
在回路中删除添加的边
<
={<
2,3>
2,4>
3,5>
4,5>
}
dom≤{2,3,4}
ran≤{3,4,5}
图3.6.1-2R°
S的矩阵图3.6.1-3S°
R的矩阵
因为关系可用图形表示，所以复合关系也可用图形表示。
四、证明题（20分，共2题，每小题10分）
∀x∀y（P（x）→Q（y））=∀x∀y（¬
P（x）∨Q（y））=∀x¬
P（x）∨∀yQ（y）=¬
∃xP（x）∀yQ（y）=∃xP（x）→∀yQ（y）
对任意∀a∈R，有
0*a=0+a+0∙a=a
a*0=a+0+a∙0=a
故0是幺元。
对任意∀a,b∈R，有
a*b=a+b+a∙b∈R
所以*是封闭的。
对任意∀a,b,c∈R，有
（a*b）*c=（a+b+a∙b）+c+（a+b+a∙b）∙c=a+b+c+a∙b+a∙c+b∙c+a∙b∙c
a*（b*c）=a+（b+c+b∙c）+a∙（b+c+b∙c）=a+b+c+a∙b+a∙c+b∙c+a∙b∙c
所以（a*b）*c=a*（b*c）
故*是可结合的。
综上所述，<
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