离散数学第3次文档格式.docx
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F_3={〈a,1〉,〈a,2〉},
F_4={〈a,3〉}
4.
用列元法表示下列集合A={x|x∈N且x^2≤9},则可表示为(
)。
5.
设X={a,b,c,d},Y={1,2,3,4,5},且有f={<
a,1>
<
b,3>
c,4>
d,4>
},则domf为(
)、R_f为
和f(x)为(
6.
判断下列命题正确与否:
(1)正整数集N上的小于等于关系“≤”是良序关系。
(
)
(2)In={1,2,…,n}上的小于等于关系“≤”是良序关系。
(3)整数集Z和实数集R上的小于等于关系“≤”是良序关系。
7.
在由n个元素组成的集合上,可以有(
)种不同的二元关系?
若集合A,B的元数分别为|A|=m,|B|=n,试问从A到B有(
8.
设R_1和R_2是集合A上的二元关系,试判断下列命题是否正确?
)(
9.
设R_1和R_2是非空集合A上的等价关系,下列各式哪些是A上的等价关系?
哪些不是A上的等价关系?
举例说明:
⑴A×
A-R_1;
(
)
⑵R_1-R_2;
⑶R_1^2;
⑷r(R_1-R_2);
⑸R_1∙R_2
10.
对下述论断判断正确与否,在相应括号中键入“Y”或“N”。
设A={2,3,6,12,24,36},A上的整除关系是一偏序关系,用“≤”表示。
(a)该偏序关系的哈斯图是(
)
(b)“≤”=
{〈2,2〉,〈2,6〉,〈3,3〉,〈3,6〉,〈6,6〉,〈6,12〉,〈12,12〉,〈12,24〉,〈24,24〉,〈36,36〉}
二、计算题(本大题共40分,共4小题,每小题10分)
试将公式化成等价的前束范式:
∀xF(x)→∃xQ(x);
z)R(x,y,z))z)Q(x,z)∨(∀x)((∀∀x)P(x)→(∃求等价于下面wff的前束合取范式与前束析取范式:
(
试将公式P∧(P→Q)化为析取范式和合取范式:
设f:
R→R,f(x)=x^2-2;
g:
R→R,g(x)=x+4。
(1)求g°
f,f°
g
(2)问g°
f和f°
g是否为单射、满射、双射?
(3)求出f、g、g°
g中的可逆函数的逆函数。
三、简答题(本大题共20分,共4小题,每小题5分)
设G是有两个奇度点的连通图,设计一个构造G的欧拉道路的算法。
设X={2,3,4,5},求集合上的关系“<
”、dom<
及ran<
。
设A={1,2,3,4,5},R={<
1,2>
1,5>
2,2>
3,2>
3,1>
4,3>
},画出R的关系图。
给定集合A={1,2,3,4,5},在集合A上定义两种关系:
R={<
3,4>
},S={<
4,2>
2,5>
1,3>
,求R°
S和S°
R的矩阵。
四、证明题(本大题共20分,共2小题,每小题10分)
证明:
∀x∀y(P(x)→Q(y))=∃xP(x)→∀yQ(y)
设<
R,*>
是一个代数系统,*是R上的一个二元运算,使得对于R中的任意元素a,b都有
a*b=a+b+a∙b,试证明:
0是幺元且<
是独异点。
答案:
一、填空题(20分,共10题,每小题2分)
参考答案:
(1)T
(2)F
(3)F
解题方案:
评分标准:
祖先;
后代
F_1,F_2是函数,F_3,F_4不是函数。
若不强调是A到B的函数,则F_4是函数,其定义域为{a}。
{1,2,3}
{a,b,c,d}
{1,3,4}
f(a)=1,f(b)=3,f(c)=4,f(d)=4
正确
错误
整数集Z和实数集R上的小于等于关系“≤”不是良序关系(因为Z或R本身无最小元)。
2^(n^2)
2^(m×
n)
(1)命题正确
(2)命题正确
(3)命题不正确
(1)不是
(2)不是(3)是(4)不是
(5)
是
Y
N
二、计算题(40分,共4题,每小题10分)
∀xF(x)→∃xQ(x)=¬
∀xF(x)∨∃xQ(x)=∃x¬
F(x)∨∃xQ(x)=∃x(¬
F(x)∨Q(x))
∀z)R(x,y,z))∀z)Q(x,z)∨(∃x)((∀x)P(x)→((
∀∀∀
z)R(x,y,z))z)Q(x,z)∨(∀x)((∀x)P(x)∨(∃┐(∀
∀u)R(x,y,u))∀z)Q(x,z)∨(x)((x)┐P(x)∨(∃(∃
∀u)R(x,y,u))z)Q(x,z)∨(x)(┐P(x)∨(∀(∃
u)(┐P(x)∨Q(x,z)∨R(x,y,u))∀z)(∀∃x)((前束合取范式
u)((┐P(x)∧Q(x,z)∧R(x,y,u))∨(┐P(x)∧Q(x,z)∧┐R(x,y,u))∨(┐P(x)∧┐Q(x,z)∧R(x,y,u))∨(┐P(x)∧┐Q(x,z)∧┐R(x,y,u))∨(P(x)∧Q(x,z)∧R(x,y,u))∨(P(x)∧Q(x,z)∧┐R(x,y,u))∨(P(x)∧┐Q(x,z)∧R(x,y,u)))z)(∀∃x)(∀(前束析取范式
┐(P∨Q)↔(P∧Q)
=(﹁(P∨Q)→(P∧Q))∧((P∧Q)→┐(P∨Q))(等值律)
=((P∨Q)∨(P∧Q))∧(┐(P∧Q)∨┐(P∨Q))
(蕴涵律)
=(P∨Q)∧(┐P∨┐Q)
(分配律)合取范式
=(┐P∨P)∨(┐P∨Q)∨(┐Q∧P)∨(┐Q∧Q)
(分配律)析取范式
(1)f°
g={〈x,x^2+8x+14〉|x∈R}
g°
f={〈x,x^2
+2〉|x∈R}
(2)g°
f和f°
g均是非单非满函数。
(3)因为g是双射,所以可逆,其逆函数为:
g^(-1)(x)=x-4。
三、简答题(20分,共4题,每小题5分)
step1:
添加连接两个奇度点的边
Step2:
调用一般的欧拉回路的算法
Step3:
在回路中删除添加的边
<
={<
2,3>
2,4>
3,5>
4,5>
}
dom≤{2,3,4}
ran≤{3,4,5}
图3.6.1-2R°
S的矩阵图3.6.1-3S°
R的矩阵
因为关系可用图形表示,所以复合关系也可用图形表示。
四、证明题(20分,共2题,每小题10分)
∀x∀y(P(x)→Q(y))=∀x∀y(¬
P(x)∨Q(y))=∀x¬
P(x)∨∀yQ(y)=¬
∃xP(x)∀yQ(y)=∃xP(x)→∀yQ(y)
对任意∀a∈R,有
0*a=0+a+0∙a=a
a*0=a+0+a∙0=a
故0是幺元。
对任意∀a,b∈R,有
a*b=a+b+a∙b∈R
所以*是封闭的。
对任意∀a,b,c∈R,有
(a*b)*c=(a+b+a∙b)+c+(a+b+a∙b)∙c=a+b+c+a∙b+a∙c+b∙c+a∙b∙c
a*(b*c)=a+(b+c+b∙c)+a∙(b+c+b∙c)=a+b+c+a∙b+a∙c+b∙c+a∙b∙c
所以(a*b)*c=a*(b*c)
故*是可结合的。
综上所述,<