边值问题的有限差分法PPT课件下载推荐.ppt

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,用有限差分法求解微分方程必须把连续问题进行离散化，为此首先要对求解区域作网格剖分。

我们的任务，是研究怎样求、的解在节点处的近似值。

其中，表示方括号内的函数在点取值。

于是在上可将方程（1.1）写成,当h足够小时，是h的二阶无穷小量，若舍去，便得到逼近方程（1.1）的差分方程,式中，于的近似，称为差分方程（1.4）的截断误差。

显然，差分方程（1.4）当时成立，加上边值条件就得到关于的线性代数方程组,称（1.5）（1.6）为逼近（1.1）（1.2）的差分方程或差分格式。

由于（1.5）是用二阶中心差商代替（1.1）中的二阶微商得到的，所以也称（1.5）（1.6）为中心差分格式。

3、求解差分方程得到边值问题的近似解。

为了求解方便，把差分方程（1.5）改写成,显然，它的系数矩阵A是对称的三对角矩阵。

例如，取N=5，则,我们可用消元法或迭代法求解方程组（1.5）、（1.6）。

（二）、差分格式的相容性、收敛性和稳定性建立了差分格式后，自然要提出如下问题：

差分格式是否有唯一解？

当网格无限加密，即当时，差分解是否收敛到真解？

如果收敛，其收敛的速度如何？

1、差分格式的相容性和收敛性,如果当网格无限加密时，差分格式的截断误差按某一范数趋近于零，则称差分方程与微分方程相容。

这里的相容是指当时差分方程能与微分方程充分接近。

相容性是差分格式收敛的必要条件。

定义1如果当网格无限加密时，差分格式的解存在，且按某一范数有,则称差分解收敛到边值问题的解,2、差分格式的稳定性差分方程的解的唯一性以及收敛速度的估计等问题，都与差分方程的稳定性有关。

以差分方程,为例。

记方程,于是有,引进记号,则显然有，,为了估计误差函数，从而为了研究收敛性以及收敛速度问题，我们给出差分格式的稳定性概念。

定义2、设差分方程为,正常数和，使,（1.9）式表明，解连续依赖右端，即右端变化小时解的变化也小。

由此式容易推得，差分方程（1.5）（1.6）对任何边值及右端恒有唯一解。

将不等式（1.9）用到差分方程（1.7），则,稳定性概念不仅在理论研究而且在实际应用中都有重要意义。

实际上，由于有实测误差和舍入误差。

右端数据不可能准确给出。

如果小的右端误差会引起解的很大偏离，即差分方程不稳定，则如此的差分方程便没有实际意义。

二、直接差分法,差分格式通常有三种构造方法，即基于微分方程的直接差分法，基于积分守恒方程的构造方法和基于变分原理的构造方法。

我们只讨论第一种构造方法。

它是用差商直接代替微分方程中的微商，从而得到相应的差分方程。

下面以二阶椭圆型方程边值问题为例讨论这种方法。

考虑Poisson方程第一边值问题,首先对求解区域G作网格剖分：

这样，x,y平面就被这两组平行线构成的网格所覆盖，网格中两组直线的交点称为网格点或节点，并简记为。

我们只考虑属于的节点。

如果两个节点沿x轴（或沿y轴）方向只相差一个步长，则称这两个节点是相邻的；

以表示所有属于G内部的节点集合，并称如此的节点为内点。

以表示网线或与G的交点集合，并称如此的点为边界点。

如果内点的四个相邻点都属于则称如此的点为正则内点；

否则称为非正则内点。

若考虑的微分方程是Laplace方程，则相应的差分方程为,对于Laplace方程，相应的差分格式为,可以看出，公式（2.5）的左端是节点及其另外四个邻点上的u值的线性组合。

实际上，我们还可以采用其它的组合方法，于是有另一种五点差分格式：

为了提高差分格式的精度可以考虑用更多的点上的u值来做线性组合。

事实上，利用差分格式（2.7）和（2.5）进行线性组合便可以得到逼近Poisson方程的另一种差分格式：

可以证明，差分格式（2.8）的截断误差为,由于差分格式（2.8）采用了九个节点，因此称差分格式为九点差分格式。

由于它是4阶精度的格式所以也称其为高精度格式。

显然，它更精确的逼近Poisson方程。

在实际计算中，如果精度要求不是很高，以采用五点差分格式较为合适。

以上仅对Poisson方程建立了五点差分格式和九点差分格式，类似的方法，我们可以对一般的椭圆型方程建立相应的差分格式。

三、边界条件的处理,以上我们仅就正则内点建立了相应的差分格式，为了求解还必须对边界条件进行处理以给出边界上的关系式。

考虑第一类边界条件：

1、直接转移法,2、线性插值,例、用差分法解边值问题,解、作正方形网格剖分，取h=0.125,采用差分格式：

据此可列出差分方程：

方程的右端项可从边界条件的直接转移法得到：

用Gauss-Seidel方法求解上述线性代数方程组，其结果如下：

在利用了内点的差分格式和边界条件的处理之后，一般都可得到线性代数方程组，对此可以用Gauss-Seidel方法、Jacobi方法、SOR迭代法来求解，并且还可利用许多加速收敛的方法。