边值问题的有限差分法PPT课件下载推荐.ppt

1、,用有限差分法求解微分方程必须把连续问题进行离散化，为此首先要对求解区域作网格剖分。,我们的任务，是研究怎样求、的解在节点 处的近似值。,其中，表示方括号内的函数在 点取值。,于是在 上可将方程（1.1）写成,当h足够小时，是h的二阶无穷小量，若舍去，便得到逼近方程（1.1）的差分方程,式中，于 的 近似，称为差分方程（1.4）的截断误差。显然，差分方程（1.4）当 时成立，加上边值条件 就得到关于 的线性代数方程组,称（1.5）（1.6）为逼近（1.1）（1.2）的差分方程或差分格式。由于（1.5）是用二阶中心差商代替（1.1）中的二阶微商得到的，所以也称（1.5）（1.6）为中心差分格式。

2、,3、求解差分方程得到边值问题的近似解。,为了求解方便，把差分方程（1.5）改写成,显然，它的系数矩阵A是对称的三对角矩阵。例如，取N=5，则,我们可用消元法或迭代法求解方程组（1.5）、（1.6）。,（二）、差分格式的相容性、收敛性和稳定性 建立了差分格式后，自然要提出如下问题：差分格式是否有唯一解？当网格无限加密，即当 时，差分解是否收敛到真解？如果收敛，其收敛的速度如何？,1、差分格式的相容性和收敛性,如果当网格无限加密时，差分格式的截断误差按某一范数趋近于零，则称差分方程与微分方程相容。这里的相容是指当 时差分方程能与微分方程充分接近。相容性是差分格式收敛的必要条件。,定义1 如果当网

3、格无限加密时，差分格式的 解 存在，且按某一范数 有,则称差分解 收敛到边值问题的解,2、差分格式的稳定性 差分方程的解的唯一性以及收敛速度的估计等问题，都与差分方程的稳定性有关。,以差分方程,为例。记方程,于是有,引进记号,则显然有，,为了估计误差函数，从而为了研究收敛性以及收敛速度问题，我们给出差分格式的稳定性概念。,定义2、设差分方程为,正常数 和，使,（1.9）式表明，解 连续依赖右端，即右端变化小时解的变化也小。由此式容易推得，差分方程（1.5）（1.6）对任何边值及右端恒有唯一解。,将不等式（1.9）用到差分方程（1.7），则,稳定性概念不仅在理论研究而且在实际应用中都有重要意义。

4、实际上，由于有实测误差和舍入误差。右端数据不可能准确给出。如果小的右端误差会引起解的很大偏离，即差分方程不稳定，则如此的差分方程便没有实际意义。,二、直接差分法,差分格式通常有三种构造方法，即基于微分方程的直接差分法，基于积分守恒方程的构造方法和基于变分原理的构造方法。我们只讨论第一种构造方法。它是用差商直接代替微分方程中的微商，从而得到相应的差分方程。下面以二阶椭圆型方程边值问题为例讨论这种方法。,考虑Poisson方程第一边值问题,首先对求解区域G作网格剖分：,这样，x,y平面就被这两组平行线构成的网格所覆盖，网格中两组直线的交点 称为网格点或节点，并简记为。,我们只考虑属于 的节点。如果

5、两个节点沿x轴（或沿y轴）方向只相差一个步长，则称这两个节点是相邻的；以 表示所有属于G内部的节点集合，并称如此的节点为内点。以表示网线 或 与G的交点集合，并称如此的点为边界点。如果内点的四个相邻点都属于则称如此的点为正则内点；否则称为非正则内点。,若考虑的微分方程是Laplace方程，则相应的差分方程为,对于Laplace方程，相应的差分格式为,可以看出，公式（2.5）的左端是节点 及其另外四个邻点上的u值的线性组合。实际上，我们还可以采用其它的组合方法，于是有另一种五点差分格式：,为了提高差分格式的精度可以考虑用更多的点上的u值来做线性组合。事实上，利用差分格式（2.7）和（2.5）进行

6、线性组合便可以得到逼近Poisson方程的另一种差分格式：,可以证明，差分格式（2.8）的截断误差为,由于差分格式（2.8）采用了九个节点，因此称差分格式为九点差分格式。由于它是4阶精度的格式所以也称其为高精度格式。显然，它更精确的逼近Poisson方程。在实际计算中，如果精度要求不是很高，以采用五点差分格式较为合适。,以上仅对Poisson方程建立了五点差分格式和九点差分格式，类似的方法，我们可以对一般的椭圆型方程建立相应的差分格式。,三、边界条件的处理,以上我们仅就正则内点建立了相应的差分格式，为了求解还必须对边界条件进行处理以给出边界上的关系式。,考虑第一类边界条件：,1、直接转移法,2、线性插值,例、用差分法解边值问题,解、作正方形网格剖分，取h=0.125,采用差分格式：,据此可列出差分方程：,方程的右端项可从边界条件的直接转移法得到：,用Gauss-Seidel方法求解上述线性代数方程组，其结果如下：,在利用了内点的差分格式和边界条件的处理之后，一般都可得到线性代数方程组，对此可以用Gauss-Seidel方法、Jacobi方法、SOR迭代法来求解，并且还可利用许多加速收敛的方法。,