黑龙江省齐齐哈尔市第八中学学年高二下学期期中考试数学理试题 Word版含答案文档格式.docx
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4
y
5
6
如果与呈线性相关,且线性回归方程为:
,则()
A.B.C.D.
6.将曲线y=cos6x按照伸缩变换后得到的曲线方程为().
A.y′=2cos3x′B.y′=3cos2x′C.y′=cos2x′D.y′=2cos2x′
7.如图给出的是计算1+++…+的值的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是()
A.i≤1009B.i>1009C.i≤1010D.i>1010
8.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值,则ab的最大值为( )A.2B.3C.6D.9
9.在R上可导的函数f(x)的图形如图所示,则关于x的不等式
x•f′(x)<0的解集为( )
A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)B.(﹣1,0)∪(1,+∞)
C.(﹣2,﹣1)∪(1,2)D.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
10.二项式(x﹣a)7的展开式中,含x4项的系数为﹣280,则dx=( )
A.ln2B.ln2+1C.1D.
11.某企业有4个分厂,新培训了一批6名技术人员,将这6名技术人员分配到各分厂,要求每个分厂至少1人,则不同的分配方案种数为()
A.1080B.480C.1560D.300
12.设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(共90分)
2、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分).
13.复数Z满足(1+i)Z=|1﹣i|,则Z的虚部为 .
14.若随机变量ξ~N(2,1),且P(ξ>3)=0.1587,则P(ξ>1)= .
15.观察下列等式
¡
¡
照此规律,第个等式可为.
16.如图,点的坐标为,函数过点,若在矩形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于__________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知曲线C1的参数方程为:
(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为:
ρ=4sin(θ+),直线l的极坐标方程为θ=.
(Ⅰ)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;
(Ⅱ)若曲线C1和曲线C2与直线l分别交于非坐标原点的A,B两点,求|AB|的值.
18.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=|x﹣3|﹣2|x+1|的最大值为m.
(Ⅰ)求m的值和不等式f(x)<1的解集;
(Ⅱ)若a,b∈(0,+∞),a2+2b2+c2=m,求ab+bc的最大值.
19.(本小题满分12分)
微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件,一经推出便风靡全国,甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商).为了调查每天微信用户使用微信的时间,某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名,其中每天玩微信超过6小时的用户为“A组”,否则为“B组”,调查结果如下:
A组
B组
合计
男性
26
24
50
女性
30
20
56
44
100
(Ⅰ)根据以上数据,能否有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关?
(Ⅱ)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份,求所抽取5人中“A组”和“B组”的人数;
(Ⅲ)从(Ⅱ)中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装,记这3人中在“A组”的人数为X,试求X的分布列与数学期望.
参考公式:
K2=,其中n=a+b+c+d为样本容量.参考数据:
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.05
0.025
0.010
k0
0.455
0.708
1.323
3.841
5.024
6.635
20.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2.E是PB的中点.
(Ⅰ)求证:
平面EAC⊥平面PBC;
(Ⅱ)若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
21.(本小题满分12分)
已知点,椭圆的离心率为,是椭圆的右焦点,直线的斜率为,为坐标原点.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)设过点的动直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程.
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=x﹣,m∈R,且m≠0.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若m=﹣1,求证:
函数F(x)=x﹣有且只有一个零点.
2016---2017学年度下学期期中考试
高二数学试题(理科)答案
一、选择题
1
7
8
9
10
11
12
A
B
C
D
二、填空题
13.14.0.8413
15.16.
三、解答题
解:
(1)曲线C1的参数方程为:
(θ为参数),
普通方程为x2+(y﹣1)2=1,曲线C2的极坐标方程为:
ρ=4sin(θ+),即ρ=2sinθ+2cosθ,直角坐标方程为x2+y2=2y+2x;
-------------------5分
(2)曲线C1的极坐标方程为:
ρ=2sinθ,将θ=代入C1的极坐标方程得ρ1=1,
将θ=代入C2的极坐标方程得ρ2=4,
∴|AB|=ρ2﹣ρ1=3.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分
(1)当x≤﹣1时,f(x)=(3﹣x)+2(x+1)=x+5≤4;
当﹣1<x<3时,f(x)=(3﹣x)﹣2(x+1)=﹣3x+1∈(﹣8,4);
当x≥3时,f(x)=(x﹣3)﹣2(x+1)=﹣x﹣5≤﹣8.…
故当x=﹣1时,f(x)取得最大值m=4;
----------4分
|x﹣3|﹣2|x+1|<1,可化为
当x≤﹣1时,x+5<1,∴x<﹣4;
当﹣1<x<3时,﹣3x+1<1,∴x>0,∴0<x<3;
当x≥3时,﹣x﹣5<1,∴x>﹣4,∴x≥3,
综上所述,不等式f(x)<1的解集为{x|x<﹣4或x>0};
----------8分
(2)由
(2)知,a2+2b2+c2=4,则ab+bc≤[(a2+b2)+(b2+c2)]=2,
∴ab+bc的最大值为2.----------12分
(1)由2×
2列联表可得
K2=
=≈0.649<0.708;
没有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关;
(2)由题意得,所抽取的5位女性中,
“A组”有5×
=3人,“B组”有5×
=2人;
-------------------------------6分
(3)X的所有可能取值为1,2,3,
则P(X=1)==,P(X=2)==,
P(X=3)==,
所有X的分布列为:
X
P
其数学期望为EX=1×
+2×
+3×
=.------------------12分
(Ⅰ)证明:
∵PC⊥平面ABCD,AC?
平面ABCD,∴AC⊥PC,
∵AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC=,
∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,
又BC∩PC=C,∴AC⊥平面PBC,
∵AC?
平面EAC,∴平面EAC⊥平面PBC.…------------------4分
(Ⅱ)如图,以C为原点,取AB中点F,、、分别为x轴、y轴、z轴正向,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,﹣1,0).
设P(0,0,a)(a>0),则E(,﹣,),…
=(1,1,0),=(0,0,a),=(,﹣,),
取=(1,﹣1,0),则•=•=0,为面PAC的法向量.
设=(x,y,z)为面EAC的法向量,则•=•=0,
即取x=a,y=﹣a,z=﹣2,则=(a,﹣a,﹣2),
依题意,|cos<,>|===,则a=2.…
于是=(2,﹣2,﹣2),=(1,1,﹣2).
设直线PA与平面EAC所成角为θ,则sinθ=|cos<,>|==,
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.…--------------12分
21.(本小题满分12分)
从而,
又点到直线的距离为,
所以的面积,
设,则,,因为,当且仅当,即时等号成立,且满足,所以当的面积最大时,的方程为或.
(1)解:
f′(x)=1﹣=,x>0,------------1分
当m<0时,f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当m>0时,由f′(x)>0,解得x>,由f′(x)<0,得0<x<.
∴f(x)在区间(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增;
----------5分
(2)证明:
由已知,F(x)=x﹣,则F′(x)=,
设h(x)=x2﹣1+lnx,则h′(x)=2x+>0(x>0),
故h(x)=x2﹣1+lnx在(0,+∞)上为增函数,
又由于h
(1)=0,因此F′
(1)=0且F′(x)有唯一的零点1.
当0<x<1时,F′(x)<0,当x>1时,F′(x)>0.
∴F(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,
∴F(x)的最小值为F
(1)=0.
∴函数F(x)=x﹣有且只有一个零点.--------------------------12分