北京市高考物理专题10 带电粒子在磁场中的运动压轴大题几个增分策略解析版Word文档格式.docx

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（2）粒子运动轨迹与小圆相切时的两种情况（外切和内切）下如何通过几何关系寻找粒子做圆周运动的半径（利用粒子在磁场中运动轨迹的对称性）。

（3）如何寻找粒子在两磁场中运动一段时间后再次回到H点时的运动轨迹（利用粒子在磁场中运动的重复性）。

【解析】

（1）设极板间电场强度的大小为E，对粒子在电场中的加速运动，由动能定理得

qE＝mv2①

由①式得E＝。

②

（2）设Ⅰ区磁感应强度的大小为B，粒子做圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得

qvB＝m③

如图甲所示，粒子运动轨迹与小圆相切有两种情况。

若粒子轨迹与小圆外切，由几何关系得

R＝④

联立③④式得

B＝⑤

若粒子轨迹与小圆内切，由几何关系得

R＝⑥

联立③⑥式得

B＝。

⑦

（3）设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的半径分别为R1、R2，由题意可知，Ⅰ区和Ⅱ区磁感应强度的大小分别为

B1＝、B2＝

由牛顿第二定律得

qvB1＝m，qvB2＝m⑧

代入数据得

R1＝，R2＝⑨

设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做周围运动的周期分别为T1、T2，由运动学公式得

T1＝，T2＝⑩

据题意分析，粒子两次与大圆相切的时间间隔内，运动轨迹如图乙所示，根据对称性可知，Ⅰ区两段圆弧所对圆心角相同，设为θ1，Ⅱ区内圆弧所对圆心角设为θ2，圆弧和大圆的两个切点与圆心O连线间的夹角设为α，由几何关系得

θ1＝120°

⑪

θ2＝180°

⑫

α＝60°

⑬

粒子重复上述交替运动回到H点，轨迹如图丙所示，设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的时间分别为t1、t2，可得

t1＝×

T1，⑭

t2＝×

T2⑮

设粒子运动的路程为s，

由运动学公式得

s＝v（t1＋t2）⑯

联立⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯式得

s＝5.5πD。

⑰

【答案】　

（1）　

（2）或　（3）5.5πD

临界与极值法的应用

电磁学中的临界、极值问题是高考命题的热点，难度往往较大，尤其是在分析带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的这类问题时，通常以题目中的“恰好”“最高”“最长”“至少”等为突破口，将不确定的物理量推向极端（如极大、极小；

最上、最下；

最左、最右等），结合相应的物理规律分析出临界条件，列出相应方程求解。

[例2]　如图所示，一平行板电容器两极板水平相对放置，在两极板的正中心上各开一孔，孔相对极板很小，因此不会影响两极板间的电场分布。

现给上下两极板分别充上等量的正负电荷，上板带正电、下板带负电，使两极板间形成匀强电场，电场强度大小为E＝。

一根长为L的绝缘轻质硬杆上下两端分别固定一带电金属小球A、B，两球大小相等，且直径小于电容器极板上的孔，A球带负电QA＝－3q，B球带正电QB＝＋q，两球质量均为m。

将“杆—球”装置移动到上极板上方，保持竖直，且使B球刚好位于上极板小孔的中心处、球心与上极板在一平面内，然后由静止释放。

已知带电平行板电容器只在其两极板间存在电场，两球在运动过程中不会接触到极板，且各自的带电荷量始终不变。

忽略两球产生的电场对平行板间匀强电场的影响，两球可以看成质点，电容器极板厚度不计。

重力加速度取g。

（1）求B球刚进入两极板间时，“杆—球”装置的加速度大小a。

（2）若以后的运动过程中，发现B球从下极板的小孔穿出后，刚好能运动的距离，求电容器两极板的间距d。

（3）A、B两球从开始到最低点的运动过程中，硬杆上所产生的弹力始终是拉力，则拉力最大值是多大（静电力常量为k）?

（1）以AB系统为研究对象，

有qE＋2mg＝2ma，

可以得到：

a＝g。

（2）①从开始到A刚进入两极板间有：

v12＝2aL，

得v1＝

②A进入两极板间到B即将穿出下孔，

有：

qE＋2mg－3qE＝2ma2

得a2＝－2g，v22－v12＝2a2s

③B穿出下孔后，有2mg－3qE＝2ma3，得a3＝－g

0－v22＝2a3×

联立解得s＝L，所以，两极板间距d＝s＋L＝L。

（3）B球刚进入电场时，以A球为研究对象，

T1＋mg＋＝ma，

得T1＝mg－

A球刚进入电场时，以B球为研究对象，

T2＋－mg－qE＝m|a2|

得T2＝6mg－

B球刚离开电场时，以B球为研究对象，

T3＋－mg＝m|a3|，

得T3＝mg－

所以，最大拉力为T2＝6mg－。

【答案】　

（1）g　

（2）L　（3）6mg－

递推法的应用

递推法是根据具体问题，建立递推关系，再通过递推关系求解问题的方法，即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式具体步骤是先分析某一次作用的情况，得出结论；

再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广；

最后结合数学知识求解。

方法应用：

（1）建立递推关系——利用物理规律导出第一次相互作用中（或者第一个过程中）物理量之间的关系或相邻两次作用中的递推关系式；

（2）递推关系有何性质——寻找规律，得出第n次相互作用的递推关系；

（3）如何求解递推关系——结合数学知识（如数列）求解。

[注意]　递推法可以分为顺推法（从已知条件出发，逐步推出要解决的问题）与逆推法（从问题出发逐步推到已知条件）。

[例3]　（2015·

天津高考）现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。

真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度均为d。

电场强度为E，方向水平向右；

磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。

电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。

一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。

（1）求粒子在第2层磁场中运动时速度v2的大小与轨迹半径r2；

（2）粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn，试求sinθn；

（3）若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入第n层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之。

[审题指导]　粒子在交替存在的电场、磁场中的运动，是高考的热点：

处理的方法是分段考虑带电粒子在电场、磁场中的运动，可以从动力学角度（牛顿运动定律及运动学公式）或能量角度（动能定理）建立方程，寻找递推关系。

【解析】法一：

（1）粒子在进入第2层磁场时，经过两次电场加速，中间穿过磁场时洛伦兹力不做功。

由动能定理，有

2qEd＝mv22①

由①式解得

v2＝2②

粒子在第2层磁场中受到的洛伦兹力充当向心力，有

qv2B＝m③

由②③式解得

r2＝。

④

（2）设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn，轨迹半径为rn（各量的下标均代表粒子所在层数，下同）。

nqEd＝mvn2⑤

qvnB＝m⑥

粒子进入第n层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为αn，从第n层磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，有

vn－1sinθn－1＝vnsinαn⑦

由图甲看出

rnsinθn－rnsinαn＝d⑧

由⑥⑦⑧式得

rnsinθn－rn－1sinθn－1＝d⑨

由⑨式看出r1sinθ1，r2sinθ2，…，rnsinθn为一等差数列，公差为d，可得

rnsinθn＝r1sinθ1＋（n－1）d⑩

当n＝1时，由图乙看出

r1sinθ1＝d⑪

由⑤⑥⑩⑪式得

sinθn＝B。

（3）若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，则

θn＝，sinθn＝1。

在其他条件不变的情况下，换用比荷更大的粒子，设其比荷为，假设能穿出第n层磁场右侧边界，粒子穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn′，由于＞

则导致sinθn′＞1

说明θn′不存在，即原假设不成立。

所以比荷较该粒子大的粒子不能穿出该层磁场右侧边界。

法二：

（1）与解法一相同（略）。

（2）设粒子在第1层磁场中运动的半径为r1，速度为v1，离开磁场时速度与水平方向的夹角为θ1

由图丙看出r1sinθ1＝d⑤

qEd＝mv12⑥

qv1B＝m⑦

设粒子在第2层磁场中运动的半径为r2，速度为v2，进入磁场时速度与水平方向的夹角为α2，离开磁场时速度与水平方向的夹角为θ2

由图丁可知，r2sinθ2－r2sinα2＝d⑧

粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，有

v1sinθ1＝v2sinα2⑨

又由于r＝，可知半径与速度成正比，所以⑨式变为

r1sinθ1＝r2sinα2⑩

由⑧⑩得r2sinθ2－r1sinθ1＝d

设粒子在第3层磁场中运动的半径为r3，射出磁场的速度与水平方向的夹角为θ3

同理，有r3sinθ3－r2sinθ2＝d⑪

设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn，轨迹半径为rn

由⑧⑩⑪看出r1sinθ1，r2sinθ2,…，rnsinθn为一等差数列，公差为d，可得

rnsinθn＝r1sinθ1＋（n－1）d⑫

nqEd＝mvn2⑬

qvnB＝m⑭

由⑤⑫⑬⑭得sinθn＝B。

（3）与解法一相同（略）。

【答案】　

（1）2　

（2）B（3）不能，推理见解析

[提能增分集训]

1.如图所示，在平面直角坐标系xOy中的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向里的有界圆形匀强磁场区域（图中未画出）；

在第二象限内存在沿x轴负方向的匀强电场。

一粒子源固定在x轴上坐标为（－L,0）的A点。

粒子源沿y轴正方向释放出速度大小为v的电子，电子恰好能通过y轴上坐标为（0,2L）的C点，电子经过磁场偏转后恰好垂直通过第一象限内与x轴正方向成15°

角的射线ON（已知电子的质量为m，电荷量为e，不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用）。

求：

（1）匀强电场的电场强度E的大小；

（2）电子离开电场时的速度方向与y轴正方向的夹角θ；

（3）圆形磁场的最小面积Smin。

（1）从A到C的过程中，电子做类平抛运动