北京市高考物理专题10 带电粒子在磁场中的运动压轴大题几个增分策略解析版Word文档格式.docx
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(2)粒子运动轨迹与小圆相切时的两种情况(外切和内切)下如何通过几何关系寻找粒子做圆周运动的半径(利用粒子在磁场中运动轨迹的对称性)。
(3)如何寻找粒子在两磁场中运动一段时间后再次回到H点时的运动轨迹(利用粒子在磁场中运动的重复性)。
【解析】
(1)设极板间电场强度的大小为E,对粒子在电场中的加速运动,由动能定理得
qE=mv2①
由①式得E=。
②
(2)设Ⅰ区磁感应强度的大小为B,粒子做圆周运动的半径为R,由牛顿第二定律得
qvB=m③
如图甲所示,粒子运动轨迹与小圆相切有两种情况。
若粒子轨迹与小圆外切,由几何关系得
R=④
联立③④式得
B=⑤
若粒子轨迹与小圆内切,由几何关系得
R=⑥
联立③⑥式得
B=。
⑦
(3)设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的半径分别为R1、R2,由题意可知,Ⅰ区和Ⅱ区磁感应强度的大小分别为
B1=、B2=
由牛顿第二定律得
qvB1=m,qvB2=m⑧
代入数据得
R1=,R2=⑨
设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做周围运动的周期分别为T1、T2,由运动学公式得
T1=,T2=⑩
据题意分析,粒子两次与大圆相切的时间间隔内,运动轨迹如图乙所示,根据对称性可知,Ⅰ区两段圆弧所对圆心角相同,设为θ1,Ⅱ区内圆弧所对圆心角设为θ2,圆弧和大圆的两个切点与圆心O连线间的夹角设为α,由几何关系得
θ1=120°
⑪
θ2=180°
⑫
α=60°
⑬
粒子重复上述交替运动回到H点,轨迹如图丙所示,设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的时间分别为t1、t2,可得
t1=×
T1,⑭
t2=×
T2⑮
设粒子运动的路程为s,
由运动学公式得
s=v(t1+t2)⑯
联立⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯式得
s=5.5πD。
⑰
【答案】
(1)
(2)或 (3)5.5πD
临界与极值法的应用
电磁学中的临界、极值问题是高考命题的热点,难度往往较大,尤其是在分析带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的这类问题时,通常以题目中的“恰好”“最高”“最长”“至少”等为突破口,将不确定的物理量推向极端(如极大、极小;
最上、最下;
最左、最右等),结合相应的物理规律分析出临界条件,列出相应方程求解。
[例2] 如图所示,一平行板电容器两极板水平相对放置,在两极板的正中心上各开一孔,孔相对极板很小,因此不会影响两极板间的电场分布。
现给上下两极板分别充上等量的正负电荷,上板带正电、下板带负电,使两极板间形成匀强电场,电场强度大小为E=。
一根长为L的绝缘轻质硬杆上下两端分别固定一带电金属小球A、B,两球大小相等,且直径小于电容器极板上的孔,A球带负电QA=-3q,B球带正电QB=+q,两球质量均为m。
将“杆—球”装置移动到上极板上方,保持竖直,且使B球刚好位于上极板小孔的中心处、球心与上极板在一平面内,然后由静止释放。
已知带电平行板电容器只在其两极板间存在电场,两球在运动过程中不会接触到极板,且各自的带电荷量始终不变。
忽略两球产生的电场对平行板间匀强电场的影响,两球可以看成质点,电容器极板厚度不计。
重力加速度取g。
(1)求B球刚进入两极板间时,“杆—球”装置的加速度大小a。
(2)若以后的运动过程中,发现B球从下极板的小孔穿出后,刚好能运动的距离,求电容器两极板的间距d。
(3)A、B两球从开始到最低点的运动过程中,硬杆上所产生的弹力始终是拉力,则拉力最大值是多大(静电力常量为k)?
(1)以AB系统为研究对象,
有qE+2mg=2ma,
可以得到:
a=g。
(2)①从开始到A刚进入两极板间有:
v12=2aL,
得v1=
②A进入两极板间到B即将穿出下孔,
有:
qE+2mg-3qE=2ma2
得a2=-2g,v22-v12=2a2s
③B穿出下孔后,有2mg-3qE=2ma3,得a3=-g
0-v22=2a3×
联立解得s=L,所以,两极板间距d=s+L=L。
(3)B球刚进入电场时,以A球为研究对象,
T1+mg+=ma,
得T1=mg-
A球刚进入电场时,以B球为研究对象,
T2+-mg-qE=m|a2|
得T2=6mg-
B球刚离开电场时,以B球为研究对象,
T3+-mg=m|a3|,
得T3=mg-
所以,最大拉力为T2=6mg-。
【答案】
(1)g
(2)L (3)6mg-
递推法的应用
递推法是根据具体问题,建立递推关系,再通过递推关系求解问题的方法,即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时,应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类,然后求出通式具体步骤是先分析某一次作用的情况,得出结论;
再根据多次作用的重复性和它们的共同点,把结论推广;
最后结合数学知识求解。
方法应用:
(1)建立递推关系——利用物理规律导出第一次相互作用中(或者第一个过程中)物理量之间的关系或相邻两次作用中的递推关系式;
(2)递推关系有何性质——寻找规律,得出第n次相互作用的递推关系;
(3)如何求解递推关系——结合数学知识(如数列)求解。
[注意] 递推法可以分为顺推法(从已知条件出发,逐步推出要解决的问题)与逆推法(从问题出发逐步推到已知条件)。
[例3] (2015·
天津高考)现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。
真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场,电场与磁场的宽度均为d。
电场强度为E,方向水平向右;
磁感应强度为B,方向垂直纸面向里。
电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。
一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放,粒子始终在电场、磁场中运动,不计粒子重力及运动时的电磁辐射。
(1)求粒子在第2层磁场中运动时速度v2的大小与轨迹半径r2;
(2)粒子从第n层磁场右侧边界穿出时,速度的方向与水平方向的夹角为θn,试求sinθn;
(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出,试问在其他条件不变的情况下,也进入第n层磁场,但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界,请简要推理说明之。
[审题指导] 粒子在交替存在的电场、磁场中的运动,是高考的热点:
处理的方法是分段考虑带电粒子在电场、磁场中的运动,可以从动力学角度(牛顿运动定律及运动学公式)或能量角度(动能定理)建立方程,寻找递推关系。
【解析】法一:
(1)粒子在进入第2层磁场时,经过两次电场加速,中间穿过磁场时洛伦兹力不做功。
由动能定理,有
2qEd=mv22①
由①式解得
v2=2②
粒子在第2层磁场中受到的洛伦兹力充当向心力,有
qv2B=m③
由②③式解得
r2=。
④
(2)设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn,轨迹半径为rn(各量的下标均代表粒子所在层数,下同)。
nqEd=mvn2⑤
qvnB=m⑥
粒子进入第n层磁场时,速度的方向与水平方向的夹角为αn,从第n层磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn,粒子在电场中运动时,垂直于电场线方向的速度分量不变,有
vn-1sinθn-1=vnsinαn⑦
由图甲看出
rnsinθn-rnsinαn=d⑧
由⑥⑦⑧式得
rnsinθn-rn-1sinθn-1=d⑨
由⑨式看出r1sinθ1,r2sinθ2,…,rnsinθn为一等差数列,公差为d,可得
rnsinθn=r1sinθ1+(n-1)d⑩
当n=1时,由图乙看出
r1sinθ1=d⑪
由⑤⑥⑩⑪式得
sinθn=B。
(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出,则
θn=,sinθn=1。
在其他条件不变的情况下,换用比荷更大的粒子,设其比荷为,假设能穿出第n层磁场右侧边界,粒子穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn′,由于>
则导致sinθn′>1
说明θn′不存在,即原假设不成立。
所以比荷较该粒子大的粒子不能穿出该层磁场右侧边界。
法二:
(1)与解法一相同(略)。
(2)设粒子在第1层磁场中运动的半径为r1,速度为v1,离开磁场时速度与水平方向的夹角为θ1
由图丙看出r1sinθ1=d⑤
qEd=mv12⑥
qv1B=m⑦
设粒子在第2层磁场中运动的半径为r2,速度为v2,进入磁场时速度与水平方向的夹角为α2,离开磁场时速度与水平方向的夹角为θ2
由图丁可知,r2sinθ2-r2sinα2=d⑧
粒子在电场中运动时,垂直于电场线方向的速度分量不变,有
v1sinθ1=v2sinα2⑨
又由于r=,可知半径与速度成正比,所以⑨式变为
r1sinθ1=r2sinα2⑩
由⑧⑩得r2sinθ2-r1sinθ1=d
设粒子在第3层磁场中运动的半径为r3,射出磁场的速度与水平方向的夹角为θ3
同理,有r3sinθ3-r2sinθ2=d⑪
设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn,轨迹半径为rn
由⑧⑩⑪看出r1sinθ1,r2sinθ2,…,rnsinθn为一等差数列,公差为d,可得
rnsinθn=r1sinθ1+(n-1)d⑫
nqEd=mvn2⑬
qvnB=m⑭
由⑤⑫⑬⑭得sinθn=B。
(3)与解法一相同(略)。
【答案】
(1)2
(2)B(3)不能,推理见解析
[提能增分集训]
1.如图所示,在平面直角坐标系xOy中的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向里的有界圆形匀强磁场区域(图中未画出);
在第二象限内存在沿x轴负方向的匀强电场。
一粒子源固定在x轴上坐标为(-L,0)的A点。
粒子源沿y轴正方向释放出速度大小为v的电子,电子恰好能通过y轴上坐标为(0,2L)的C点,电子经过磁场偏转后恰好垂直通过第一象限内与x轴正方向成15°
角的射线ON(已知电子的质量为m,电荷量为e,不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用)。
求:
(1)匀强电场的电场强度E的大小;
(2)电子离开电场时的速度方向与y轴正方向的夹角θ;
(3)圆形磁场的最小面积Smin。
(1)从A到C的过程中,电子做类平抛运动