124 证明不等式的基本方法.docx

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124证明不等式的基本方法

12．4　证明不等式的基本方法

[知识梳理]

1．证明不等式的基本方法：

比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．

2．三个正数的算术几何平均不等式

（1）定理：

如果a，b，c∈R＋那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.

（2）基本不等式的推广

对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．

3．柯西不等式

（1）设a，b，c，d均为实数，则（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，当且仅当ad＝bc时等号成立．

（2）若ai，bi（i∈N*）为实数，则≥2，当且仅当＝＝…＝（当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1,2，…，n）时等号成立．

（3）柯西不等式的向量形式：

设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α，β共线时等号成立．

[诊断自测]

1．概念思辨

（1）用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，假设为“a，b，c全不为0”．（　　）

（2）若>1，则x＋2y>x－y.（　　）

（3）|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.（　　）

（4）若实数x，y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.（　　）

答案　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√

2．教材衍化

（1）（选修A4－5P23T1）不等式：

①x2＋3>3x；②a2＋b2≥2（a－b－1）；③＋≥2，其中恒成立的是（　　）

A．①③B．②③C．①②③D．①②

答案　D

解析　由①得x2＋3－3x＝2＋>0，所以x2＋3>3x；对于②，因为a2＋b2－2（a－b－1）＝（a－1）2＋（b＋1）2≥0，所以不等式成立；对于③，因为当ab<0时，＋－2＝<0，即＋<2.故选D.

（2）（选修A4－5P25T2）已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．

答案　9

解析　把a＋b＋c＝1代入＋＋，得

＋＋

＝3＋＋＋

≥3＋2＋2＋2＝9，

当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．

3．小题热身

（1）（2017·聊城模拟）下列四个不等式：

①logx10＋lgx≥2（x>1）；②|a－b|<|a|＋|b|；③≥2（ab≠0）；④|x－1|＋|x－2|≥1，其中恒成立的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　C

解析　logx10＋lgx＝＋lgx≥2（x>1），①正确．

ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；

因为ab≠0，与同号，

所以＝＋≥2，③正确；

由|x－1|＋|x－2|的几何意义知，

|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④正确，

综上①③④正确．故选C.

（2）设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________．

答案　

解析　由柯西不等式得（ma＋nb）2≤（m2＋n2）（a2＋b2），即m2＋n2≥5，∴≥，∴所求最小值为.

题型1　综合法证明不等式

　　（2018·安徽百校模拟）已知a>0，b>0，函数f（x）＝|2x＋a|＋2＋1的最小值为2.

（1）求a＋b的值；

（2）求证：

a＋log3≥3－b.

（1）当绝对值符号中x的系数相同时，利用绝对值不等式的性质消去x即可；

（2）利用a＋b＝1转化为＋＝（a＋b）求解．

解　

（1）因为f（x）＝|2x＋a|＋|2x－b|＋1≥|2x＋a－（2x－b）|＋1＝|a＋b|＋1，

当且仅当（2x＋a）（2x－b）≤0时，等号成立，

又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，

所以f（x）的最小值为a＋b＋1＝2，所以a＋b＝1.

（2）证明：

由

（1）知，a＋b＝1，

所以＋＝（a＋b）＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，

当且仅当＝且a＋b＝1，即a＝，b＝时取等号．

所以log3≥log39＝2，

所以a＋b＋log3≥1＋2＝3，即a＋log3≥3－b.

方法技巧

1．综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．

2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．

冲关针对训练

（2018·浙江金华模拟）已知x，y∈R.

（1）若x，y满足|x－3y|<，|x＋2y|<，求证：

|x|<；

（2）求证：

x4＋16y4≥2x3y＋8xy3.

证明　

（1）利用绝对值不等式的性质得

|x|＝[|2（x－3y）＋3（x＋2y）|]≤[|2（x－3y）|＋|3（x＋2y）|]<＝.

（2）因为x4＋16y4－（2x3y＋8xy3）

＝x4－2x3y＋16y4－8xy3

＝x3（x－2y）＋8y3（2y－x）

＝（x－2y）（x3－8y3）

＝（x－2y）（x－2y）（x2＋2xy＋4y2）

＝（x－2y）2[（x＋y）2＋3y2]≥0，

∴x4＋16y4≥2x3y＋8xy3.

题型2　分析法证明不等式

　　设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.

求证：

（1）a＋b＋c≥；

（2）＋＋≥（＋＋）．

含根式的不等式考虑分析法．

证明　

（1）要证a＋b＋c≥，由于a，b，c>0，因此只需证明（a＋b＋c）2≥3，即证a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ac）≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ac）≥3（ab＋bc＋ac），即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.

因为ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2（当且仅当a＝b＝c时等号成立），

所以原不等式成立．

（2）＋＋＝.

在

（1）中已证a＋b＋c≥，因此要证原不等式成立，只需证明≥＋＋，即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.

而a＝≤，b＝≤，c＝≤，

所以a＋b＋c≤ab＋bc＋ca（a＝b＝c＝时等号成立）．所以原不等式成立．

方法技巧

分析法证明不等式的思路

用分析法证明不等式时，分析的过程是寻求结论成立的充分条件，而不一定是充要条件，同时要正确使用“要证”“只需证”这样的连接“关键词”．

分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程．

冲关针对训练

1．若a≥b>0，试证：

2a3－b3≥2ab2－a2b.

证明　要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，

只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，

即证2a（a2－b2）＋b（a2－b2）≥0，

即证（a＋b）（a－b）（2a＋b）≥0.

∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，

从而（a＋b）（a－b）（2a＋b）≥0成立，

∴2a3－b3≥2ab2－a2b.

2．若m>0，a，b∈R，试证：

2≤.

证明　因为m>0，所以1＋m>0.

所以要证原不等式成立，

只需证（a＋mb）2≤（1＋m）（a2＋mb2），

即证m（a2－2ab＋b2）≥0，

即证（a－b）2≥0，

而（a－b）2≥0显然成立，故原不等式得证．

题型3　反证法证明不等式

　　（2015·湖南高考）设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：

（1）a＋b≥2；

（2）a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．

否定形式的命题考虑用反证法．

证明　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.

（1）由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．

（2）假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0

方法技巧

反证法证明不等式的题型及思路

对于某些问题中所证结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”等问题，一般用反证法．其一般步骤是假设→推理→得出矛盾→肯定原结论．

冲关针对训练

法国数学家阿达玛说过“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”这是对反证法精辟的概括．有如下用反证法证明命题：

若a，b，c都是正数，则a＋，b＋，c＋中至少有一个不小于2.

证明　假设a＋，b＋，c＋全部小于2，

即由不等式的性质，得

a＋＋b＋＋c＋<6，

而a＋＋b＋＋c＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，与上式矛盾．所以，假设错误，原命题成立．

题型4　柯西不等式

　　（2017·江苏高考）已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：

ac＋bd≤8.

证明　由柯西不等式，得（ac＋bd）2≤（a2＋b2）（c2＋d2）．

因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，

所以（ac＋bd）2≤64，

因此ac＋bd≤8.

　　已知a，b，c∈R,4a2＋b2＋2c2＝4，求2a＋b＋c的最大值．

用凑配法得出柯西不等式的结构．

解　由柯西不等式得[（2a）2＋b2＋（c）2]≥（2a＋b＋c）2.

因为4a2＋b2＋2c2＝4，所以（2a＋b＋c）2≤10，当且仅当a＝，b＝，c＝时取等号．

所以－≤2a＋b＋c≤，

所以2a＋b＋c的最大值为.

方法技巧

利用柯西不等式的解题思路

1．用柯西不等式证明时，一般需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，然后根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式进行证明．

2．利用柯西不等式求最值的一般结构为（a＋a＋…＋a）≥（1＋1＋…＋1）2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数和等号成立的条件．

冲关针对训练

若p，q，r为正实数，且＋＋＝4，求3p＋2q＋r的最小值．

解　令a1＝，a2＝，a3＝.

由柯西不等式，得

·（a＋a＋a）≥2＝9，即（3p＋2q＋r）≥9.

∵＋＋＝4，∴3p＋2q＋r≥，

当且仅当＝＝＝，即p＝，q＝，r＝时，取等号．

∴3p＋2q＋r的最小值为.

1．（2017·民乐模拟）设a>0，b>1，若a＋b＝2，则＋的最小值为（　　）

A．2B．8C．4D．4＋2

答案　D

解析　∵设a>0，b>1，a＋b＝2，

∴＋＝（a＋b－1）＝4＋＋≥4＋2＝4＋2，当且仅当a＝（b－1）＝时取等号，

∴＋的最小值为4＋2.故选D.

2．（2017·红花岗期中）设x，y，z∈R，且＋＋＝1，求x＋y＋z的最大值与最小值．

解　∵x＋y＋z＝4·＋·＋2·＋2，

根据柯西不等式，（x1x2＋y1y2＋z1z2）2≤（x＋y＋z）·（x＋y＋z），得

2≤（16＋5＋4）·＝25，

所以，≤5，

即－5≤4·＋·＋2·≤5，

因此，x＋y＋z∈[－3,7]，

故x＋y＋z的最大值为7，最小值为－3.

3．（2017·全国卷Ⅱ）已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：

（1）（a＋b）（a5＋b5）≥4；

（2）a＋b≤2.

证明　

（1）（a＋b）（a5＋b5）＝a6＋ab5＋a5b＋b6

＝（a3＋b3）2－2a3b3＋ab（a4＋b4）

＝4＋ab（a2－b2）2≥4.

（2）因为（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab（a＋b）

≤2＋（a＋b）＝2＋，

所以（a＋b）3≤8，因此a＋b≤2.

4．（2018·南昌模拟）函数f（x）＝.

（1）若a＝5，求函数f（x）的定义域A；

（2）设a，b∈（－1,1），证明：

<.

解　

（1）由|x＋1|＋|x＋2|－5≥0，

当x≤－2时，－2x－8≥0，解得x≤－4；

当－2

当x>－1时，2x－2≥0，解得x≥1