江苏高考总复习附加题40分专题系列专题11 特征值与特征向量Word文档格式.docx

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的一个特征值，它的一个特征向量为α＝

，则A

＝________________，即

也即

（*）

定义：

设A＝

是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f（λ）＝

＝__________________________称为A的特征多项式．若f（λ）＝0，的一个根，则λ是A的一个特征值，用这种方法可以把A的特征值全部求出来．

3．矩阵的特征值与特征向量的求法

如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，即f（λ）＝0，此时，将λ代入二元一次方程组（*），就可得到一组非零解

，于是非零向量

即为A的属于λ的一个______________．

4．求特征向量和特征值得步骤：

（1）f（λ）＝

＝0

（2）

（3）取x＝1或y＝1，写出相应的向量

5．求两个矩阵乘积的逆矩阵有两种方法，即先求乘积AB，再求逆矩阵（AB）－1.也可以利用性质（AB）－1＝B－1A－1求解，但要注意顺序，不能误为A－1B－1.

6．已知矩阵A有特征值λ及λ对应的一个特征向量α，则Anα＝λnα（n∈N*）．若矩阵A有两个不共线的特征向量α1，α2，其对应的特征值分别为λ1，λ2，由平面向量基本定理，向量α可由α1，α2唯一线性表示，即存在实数t1，t2，使α＝t1α1＋t2α2，从而有Anα＝t1（λ

α1）＋t2（λ

α2）（n∈N*）．

三、例题精讲

命题点一求特征值与特征向量

1．【南京市2017届高三9月学情调研】已知矩阵A＝

，B＝

，设M＝AB．

（1）求矩阵M；

（2）求矩阵M的特征值．

2．【苏州市2016届高三暑假自主学习测试】求矩阵M＝

的特征值和特征向量.

命题点二根据特征值、特征向量求矩阵

1．已知x,y∈R，向量α＝

是矩阵A＝

属于特征值-2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．

2．已知矩阵A＝

，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为

，属于特征值1的一个特征向量为

．求矩阵A的逆矩阵．

命题点三特征值及特征向量的应用

1．矩阵M＝

，向量X＝

，求M4X．

2．【盐城市2016届高三第三次模拟考试】已知矩阵

的两个特征向量

，

，若

，求

.

四、巩固训练

1．【苏州市2013届高三期末】已知矩阵M

的一个特征值为

，求其另一个特征值．

2．【2013启东中学月考,24题】已知矩阵A

，A的一个特征值

，其对应的特征向量是

．

（1）求矩阵A；

（2）设向量β

，试计算A5β．

3．【南通市、扬州市2012届高三第二次调研】已知

，计算

4．已知矩阵A有特征值λ及λ对应的一个特征向量α，则Anα＝λnα（n∈N*）．若矩阵A有两个不共线的特征向量α1，α2，其对应的特征值分别为λ1，λ2，由平面向量基本定理，向量α可由α1，α2唯一线性表示，即存在实数t1，t2，使α＝t1α1＋t2α2，从而有Anα＝t1（λ

5．已知矩阵A＝

，α＝

，求A100α.

6．设矩阵A＝

（a≠0）．

（1）求A2，A3；

（2）猜想An（n∈N*）；

（3）证明：

An（n∈N*）的特征值是与n无关的常数，并求出此常数．

7．【原创】已知矩阵M＝

有特征向量

＝

，相应的特征值为λ1，λ2.

（1）求矩阵M的逆矩阵M－1及λ1，λ2；

（2）对任意向量

，求M100

参考答案

1．【解】：

2．【解】：

矩阵M的特征多项式为

，令

，解得矩阵M的两个特征值λ1＝－4，λ2＝2

3．【解】：

，解得矩阵M的两个特征值λ1＝4，λ2＝－1，将λ1＝4代入二元方程组

，得

，得矩阵M属于特征值4的一个特征向量为

，将λ2＝－1，解得

，得矩阵M属于特征值－1的一个特征向量为

，因此矩阵M的特征值为4和－1，对应的一个特征向量分别为

4．【解】：

，解得矩阵M的两个特征值λ1＝4，λ2＝－2．λ1＝4对应的一个特征向量α1＝

，将λ2＝－2对应的一个特征向量α2＝

因为α1与α2不共线，又α＝

＝3

+

＝3α1+α2，

所以M3α＝M3（3α1+α2）＝3M3α1+M3α2＝3λ31α1+λ32α2

＝3×

43

+（－2）3

5．【解】

（1）设矩阵M的逆矩阵M－1＝

，则MM－1＝

又M＝

，所以

所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，

即x1＝

，y1＝0，x2＝0，y2＝

故所求的逆矩阵M－1＝

（2）设曲线C上任意一点P（x，y），它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′（x′，y′），

则

，即

又点P′（x′，y′）在曲线C′上，所以

＋y′2＝1.

＋b2y2＝1为曲线C的方程．

又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故

又a>

0，所以

1．

（1）特征值　特征向量　

2．λ

　λ2－（a＋d）λ＋ad－bc　

3．特征向量

命题点一

（1）M＝AB＝

（2）矩阵M的特征多项式为f（λ）＝

＝（λ－2）（λ－3）－2.

令f（λ）＝0，解得λ1＝1，λ2＝4，

所以矩阵M的特征值为1或4

2、【解】：

矩阵M的特征多项式

，令f（λ）＝0，得λ1＝7，λ2＝

，将λ1＝7代入特征方程组，得

，即y＝2x，可取

为属于特征值λ1＝7的一个特征向量，

同理，λ2＝

时，特征方程组是

，所以可取

为属于特征值λ2＝

的一个特征向量．

综上所述，矩阵

有两个特征值λ1＝7，λ2＝

；

属于λ1＝7的一个特征向量为

，属于λ2＝

的一个特征向量为

命题点二

1、【解】由已知得Aα＝-2α，即

所以矩阵A＝

从而矩阵A的特征多项式

，可得矩阵A的另一个特征值为1

2、【解】由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为

，可得

＝6

即

由矩阵

属于特征值1的一个特征向量为

可得，

，

解得

即A＝

，A逆矩阵是

命题点三

1、【解】矩阵M的特征多项式为f（λ）＝

＝（λ－8）（λ＋3）－5×

（－6）＝λ2－5λ＋6，

所以λ1＝2，λ2＝3，对应的一个特征向量分别为X1＝

，X2＝

因为X＝

＋2

＝X1＋2X2.

所以M4X＝M4（X1＋2X2）

＝M4X1＋2（M4X2）

＝λ

X1＋2（λ

X2）

＝24

＋2×

34

设矩阵

的特征向量

对

应的特征值为

，特征向量

对应的特征值为

则由

可解得：

又

所以

1、【解】设α=

为矩阵M=

属于特征值-1的一个非零向量

则，

=

∴

，解得

（由条件知

）

因此M=

特征方程为

∵

（1）由题设条件可得，

=2

∴A=

（2）矩阵A的特征方程为

当

时，得α1=

时，得α2=

设β=mα1+nα2，则

∴A5β=A5（3α1+α2）=3A5α1+A5α2=3（

α1）+（

α1）α2=

令

，从而求得对应的一个特征向量分别为

所以求得

4．【解】

（1）由条件得矩阵M＝

它的特征值为2和3，对应的一个特征向量为

和

（2）M－1＝

，设P（x0，y0）为椭圆上任一点，

在M－1作用下变为（x′，y′），则有

∵点P在椭圆

＋

＝1上，

∴x′2＋y′2＝1.（11分）

即椭圆

＝1在M－1的作用下的新曲线的方程为x2＋y2＝1.（12分）

5．【解】A的特征多项式f（λ）＝（λ－1）（λ－2），

令f（λ）＝0得A的特征值为λ1＝1，λ2＝2，（3分）

（1）当λ1＝1时，解

得A的特征向量ξ＝

（k∈R且k≠0），取ξ1＝

（2）当λ2＝2时，解

（k∈R且k≠0）．

取ξ2＝

.∴令α＝t1ξ1＋t2ξ2，

＝t1

＋t2

因此，A100α＝

.

6．【解】

（1）A2＝

，A3＝

（2）An＝

（n∈N*）；

（3）设An的特征值为λ，则由f（λ）＝

＝0，得（λ－1）2＝0.

所以λ＝1，它是与n无关的常数．

7．【答案】

（1）λ1＝2，λ2＝－1.

（2）

【解析】矩阵A＝

的逆矩阵A-1＝

所以矩阵M的逆矩阵M－1=

又M

，故

同理M

（2）因为

所以M100