数学学科教学案例一Word格式文档下载.docx
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例1、把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料,怎样锯法才能使横截面的面积最大?
先请学生思考,这张图形该是什么样呢?
要使截面面积最大,则显然矩形的四个顶点都要在圆周上。
所以它应当是圆的内接矩形。
（显示图1）
接着教师用多媒体演示动画,随着矩形ABCD面积的变化,
教师提问:
你能猜想出结论吗?
学生都能认识到,当圆内接矩形是正方形时,横截面面积最大。
在此基础上,教师进一步提问：
你能证明这一结论吗？
为使学生顺利获得证明，教师做进一步的引导：
要刻画面积变化的情况，应建立关于面积的目标函数。
那么，这个函数的自变量应如何选择呢？
同学们自己考虑一下。
学生：
可选择矩形的一边长AD作为自变量来建立目标函数。
教师：
很好！
你能试着解解吗？
学生进行分析
教师总结：
其实要证明矩形ABCD为正方形时，其面积最大。
从几何直观的角度来看是显而易见的。
要使矩形ABCD的面积最大，就要使三角形ADC的面积最大，而三角形ADC的底边AC是定长2R，故要使点D离开AC的距离最大，此时D应是弧的中点，从而矩形ABCD是正方形。
上述几种解法相比较而言，显然几何法最简捷，但并不是所有的结论都能从几何直观中看得出来的。
三角法要比代数法简捷。
在数学中，我们经常会遇到以三角为自变量的函数，从角出发研究有关问题，常常比从线段出发研究更为方便。
下面再来看几个最值的应用问题，探讨如何利用三角这一工具解决问题。
（二）深化问题，发散推广引伸
若我们将例1的圆换成半圆，则有了下面的问题（屏幕显示）。
例2．把一段半径为R的半圆形木材，锯成横截面为矩形的木材，怎样锯法才能使横截面的面积最大？
先画出示意图：
又是锯木，老调重弹，不免缺少新意。
另外锯木过多，必然伐木不少，这样会造成森林面积的减少，会出现水土流失等问题，从而严重破坏生态平衡。
为此我们将例2作些改造：
例2、如图2,有一块以点O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地,使其一边AD落在半圆的直径上,另两点B、Ｃ落在半圆的圆周上。
已知半圆的半径为Ｒ，如何选择关于点Ｏ对称的点Ａ、Ｄ的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
这样来处理要比伐木有意义多了，这也是个实际问题，内容是规划一块绿地，与同学们的生活直接相关，并注意到了环境保护的问题。
求最大值当然要涉及变量与函数，我们可以选择一条边（如OD）为自变量来列出目标函数，不过这种解法显得较繁。
于是我们还是选择一个合适的角作为自变量，到底选择哪个角呢？
不是，若选择为变量，此时矩形边长与这个角的关系很难寻找。
确实如此。
本题与上题稍有些不同。
如对角线AC，在上题中，它的长度始终不变，但在本题中，矩形的对角线AC随着矩形的变化而变化。
教师继续引导：
比较理想的情况如上题，选择直角三角形中的一内角作自变量，且这个直角三角形有一边长为定值。
为此，我们仔细看看这个矩形中有没有一些重要的不变量？
有，点C离开O点的距离始终不变。
如果我们将半圆通过补体，不难发现，例1与例2的实质是一致的。
当然结论相同，也就不足为奇了（教师演示一下补体过程）。
我们要善于利用变化联系的观点来看问题。
若我们把半圆改成扇形，则又变成了如下的问题（屏幕展示例3）：
例３、
（1）如图3，已知半径为Ｒ，圆心角为６0°
的扇形OMN，求一边在半径OM上的扇形内接矩形ABCD的最大面积及面积最大时点C的位置。
（2）如图3，扇形MON的圆心角为45°
，半径为R，矩形ABCD内接于扇形，求矩形面积的最大值及面积最大时点C的位置。
以上两题先让学生任选其中一题来做，然后师生共同交流。
课后学生的拓展作业：
本节课是三角函数知识在解决最值问题上的一个实际应用。
请设计一个与上述类似的三角函数的应用问题作一番深入的探究。
教学效果：
学生对本节课表现出极大的兴趣，课堂效果较为理想，达到了预期的效果，课后学生反响颇为强烈。
现简单摘要如下几点：
（1）自主实验探究使我们的认知方式产生了质的飞跃，变被动学习为主动探究。
（2）通过讨论、实验，使我们学会了相互合作、交流，这样的学习方式，不仅有利于提高团结协作精神，更有利于创新精神的培养。
（3）本节课先从木材的“化圆为方”问题引入，在此基础上我们积极参与、主动探究，随着问题层次的深入，使我们在获得数学知识的同时，学到了摄取知识的方法，逐步形成发现、探究、解决问题的策略，并在问题解决过程中感悟到探索的价值。
通过递进变式问题的设置，使我们的思维得到升华，进一步发展了创造性思维。
初中数学教学案例二
探索平行线的性质
一、主题分析与设计
本节课是直线平行的继续，是后面研究平移等内容的基础，是“空间与图形”的重要组成部分。
二、教学目标
1、知识与技能：
掌握平行线的性质，能应用性质解决相关问题。
2、数学思考：
在平行线的性质的探究过程中，让学生经历观察、比较、
联想、分析、归纳、猜想、概括的全过程。
3、解决问题：
通过探究平行线的性质，使学生形成数形结合的数学思
想方法，以及建模能力、创新意识和创新精神。
4、情感态度与价值观：
在探究活动中，让学生获得亲自参与研究的情感体验，从而增强学生学习数学的热情和团结合作、勇于探索、锲而不舍的精神。
三，教学重、难点
1、重点：
对平行线性质的掌握与应用
2、难点：
对平行线性质1的探究
四，教学用具
1、教具：
多媒体平台及多媒体课件
2、学具：
三角尺、量角器、剪刀
五、教学过程
（一）创设情境，设疑激思
1、播放一组幻灯片。
内容：
①供火车行驶的铁轨上；
②游泳池中的泳道隔栏；
③横格纸中的线。
2、提问温故：
日常生活中我们经常会遇到平行线，你能说出直线平行的条件吗？
3、学生活动：
针对问题，学生思考后回答——①同位角相等两直线平行；
②内错角相等两直线平行；
③同旁内角互补两直线平行；
4、教师肯定学生的回答并提出新问题：
若两直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？
从而引出课题：
7.2探索平行线的性质（板书）
（二）数形结合，探究性质
1、画图探究，归纳猜想
教师提要求，学生实践操作：
任意画出两条平行线（a∥b），画一条截线c与这两条平行线相交，标出8个角。
（统一采用阿拉伯数字标角）
教师提出研究性问题一：
指出图中的同位角，并度量这些角，把结果填入下表：
第一组
第二组
第三组
第四组
同位角
角的度数
数量关系
教师提出研究性问题二：
将画出图中的同位角任先一组剪下后叠合。
学生活动一：
画图----度量----填表
----猜想
学生活动二：
画图----剪图----叠合
让学生根据活动得出的数据与操作得出的结果归纳猜想：
两直线平行，同位角相等。
教师提出研究性问题三：
再画出一条截线d，看你的猜想结论是否仍然成立？
学生活动：
探究、按小组讨论，最后得出结论：
仍然成立。
2、教师用《几何画板》课件验证猜想，让学生直观感受猜想
3．教师展示平行线性质1：
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
（两直线平行，同位角相等）
（三）引申思考，培养创新
教师提出研究性问题四：
请判断两条平行线被第三条直线所截，内错角、同旁内角各有什么
关系？
学生活动：
独立探究----小组讨论----成果展示。
教师活动：
评价学生的研究成果，并引导学生说理
因为a∥b（已知）
所以∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）
又∠1＝∠3（对顶角相等）
∠1+∠4＝180°
（邻补角的定义）
所以∠2＝∠3（等量代换）
∠2+∠4＝180°
（等量代换）
教师展示：
平行线性质2：
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
（两直
线平行，内错角相等）
平行线性质2：
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
（两
直线平行，同旁内角互补）
（四）实际应用，优势互补
1、（抢答）课本P13
练一练
1、2及习题7.2
1、5
2、（讨论解答）课本P13
习题7.2
2、3、4
（五）课堂总结
这节课你有哪些收获？
1、学生总结：
平行线的性质1、2、3
2、教师补充总结：
⑴用“运动”的观点观察数学问题；
（如我们前面将同位角剪下
叠合后分析问题）
⑵用数形结合的方法来解决问题；
（如我们前面将同位角测量后
分析问题）
⑶用准确的语言来表达问题；
（如平行线的性质1、2、3的表述）
⑷用逻辑推理的形式来论证问题。
（如我们前面对性质2和3的
说理过程）
初中数学教学案例三
一元一次不等式教学
我在进行数学七年级上册一元一次不等式的应用教学时，在拓展思维环节举出了下面这样一个例题，随着教学过程的深入，很有感想：
……
例题：
在一个双休日，某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园，公司先派一个人去了解船只的租金情况，这个人看到的租金价格如下表所示：
船型每只船载人数租金大船53元小船32元请你帮助设计一下：
怎样的租船才能使所付租金最少？
（严禁超载）……
师：
谁能公布一下自己的设计方案？
（学生都在紧张的思考中）（突然间，我发现一名平时学习较困难的学生这次第一个举起了手，很惊奇，便马上让他发言了。
也有了我思想上的一次飞跃。
）
生：
我认为可以租大船，可以租小船，也可以大船和小船合租！
（这时，教室里哄堂大笑，这位学生顿时有些难堪，想坐下去，我赶紧制止。
）
师：
你为他们设计了三种方案。
那你能不能再具体为他们计算出租金呢？
生：
（一下子来劲了）：
如果租大船，则需要船只数为48/5=9.6只，因为不能超载，所以租大船需10只，则所付租金要3×
10=30元。
如果租小船，则需要船只数为48/3=16只，则所付租金要16×
2=32元。
如果既租大船又租小船……（说到这里，该生卡了壳）（我边认真听，边将他的方案结论板书在黑板上，看见卡了壳，便赶紧答上话）
刚才×
×
同学真的不错，不但一下子设计了三种方案，还差不多完成了全部租金的计算，我和
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