高考数学 第二节 两角和与差的三角函数与简单的三角恒等变换教材Word下载.docx
《高考数学 第二节 两角和与差的三角函数与简单的三角恒等变换教材Word下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学 第二节 两角和与差的三角函数与简单的三角恒等变换教材Word下载.docx(21页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(2)常见的角的代换有:
α=(α+β)-β α=β-(β-α)
α=[(α+β)+(α-β)]
α=[(β+α)-(β-α)]
角的代换实质是根据题意的需要把角看活,要在活字上作文章.
(3)公式的逆向变换、多向变换
使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换,这是灵活使用公式所必须的,尤其是三角公式众多,把这些公式用活显得更加重要,这是学好三角函数的基本功.
如两角和的正切公式tan(α+β)=,就必须掌握如下的一些变换:
=tan(α+β)
1-tanαtanβ=
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)
tanα·
tanβ·
tan(α+β)=tan(α+β)-tanα-tanβ
(4)引入辅助角的变换
形如asinx+bcosx(a、b不同时为零)的式子引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式.这里A=,sinφ=,cosφ=,φ的终边所在象限由a和b确定.
2.二倍角的正弦、余弦、正切
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α=2sinαcosα
cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α-sin2α
tan2α=
公式的推导:
在两角和的正弦、余弦、正切公式中,令α=β即可推得倍角的正弦、余弦、正切公式.从推导中可发现,二倍角公式是和角公式的特殊情况.
(2)应注意的地方
①对于“二倍角”的理解,不单纯是α与2α的关系,而应有更广泛的理解.如4α是2α的二倍角;
3α是的二倍角;
α是的二倍角;
是的二倍角等等.
②当α=kπ+(k∈Z)时,tanα的值不存在,这时求tan2α的值可利用诱导公式.即tan2α=tan2(kπ+)=tan(π+2kπ)=tanπ=0.
③公式的逆向变换与有关变形
1±
sin2α=sin2α+cos2α±
2sinαcosα=(sinα±
cosα)2a
1+cosα=2cos2b
1-cosα=2sin2c
cos2α=(1+cos2α)d
sin2α=(1-cos2α)e
上述公式中,b、c又称为升幂公式,d、e又称为降幂公式.
(3)知识的延伸及扩展
①三倍角公式
sin3α=3sinα-4sin3α
cos3α=4cos3α-3cosα
②半角公式
sin=±
cos=±
tan=±
==
③万能公式
sinα=
cosα=
tanα=
④和差化积公式
sinα+sinβ=2sincos
sinα-sinβ=2cossin
cosα+cosβ=2coscos
cosα-cosβ=-2sinsin
⑤积化和差公式
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]
3.三角函数的求值、化简和证明
(1)三角函数的求值主要有三种类型,即给角求值、给值求值、给值求角
①给角求值的关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.
②给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异.一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用.同时也要注意变换欲求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.
③给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值,其次判断该角在对应区间的单调性,从而达到解题的目的.
在解给值求角的题型时需注意角的范围.
(2)三角式的化简
这类问题主要是利用诱导公式、同角关系式、和与差的公式及倍角公式将较复杂的三角式化得较为简单,化简时注意最简式的五种形式和要求.
①化简三角函数式的意义是为更清楚地显示式中所含量之间的关系,以便于应用.
②化简三角函数式的要求:
(ⅰ)能求出值种数尽量少.
(ⅱ)使项数尽量少.
(ⅲ)尽量使分母不含三角函数.
(ⅳ)尽量使被开方数不含三角函数.
③化简常用的技巧
(ⅰ)注意特殊角的三角函数与特殊值的互化;
(ⅱ)注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质;
(ⅲ)对于二次根式,注意二倍角公式的逆用;
(ⅳ)注意利用角与角之间的隐含关系;
(ⅴ)注意利用“1”的恒等变形;
(ⅵ)注意条件的合理使用:
尽可能不去破坏条件的整体结构,即要把所求式子适当变形,能使条件整体代入;
将条件适当简化、整理或重新改造、组合,使其与所求式子更吻合.
④作为三角变换的基础的三角式的化简,有三种基本类型:
根式形式、分式形式、多项式形式.常用方法有:
公式法、切割化弦法、异名化同名、异角化同角.
(3)三角恒等式的证明
恒等式的证明,包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种.
①无条件的等式证明,常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因),证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等.
②有条件的等式证明,常常先观察条件式及欲证式中左、右两边三角函数式的区别及联系,灵活使用条件,变形得证.
典例对对碰
题型一两角和与差的三角公式应用
例1求下列各式的值:
(1)cos80°
cos35°
+cos10°
cos55°
;
(2)sin75°
-sin15°
(3)tan15°
+tan30°
+tan15°
tan30°
(4).
解析 充分利用公式,把已知的角化为可求的特殊角.
(1)原式=cos80°
+sin80°
sin35°
=cos(80°
-35°
)
=cos45°
=.
(2)原式=sin(45°
+30°
)-sin(45°
-30°
=sin45°
cos30°
+cos45°
sin30°
-sin45°
·
=2cos45°
=2×
×
(3)∵tan45°
=tan(30°
+15°
=,
∴tan30°
=1-tan30°
tan15°
.
∴原式=tan30°
=1.
(4)原式==
=tan(45°
-15°
)=tan30°
变式迁移1
已知△ABC中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0.求角A、B、C的大小.
解析 由sinB+cos2C=0得sinB=-cos2C=sin(-2C).由0<B、C<π,所以B=-2C或B=2C-.
即B+2C=或2C-B=.
由sinA(sinB+cosB)-sinC=0,
得sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0.
所以sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0.
即sinB(sinA-cosA)=0.
因为sinB≠0,所以cosA=sinA.
由A∈(0,π),知A=.
从而B+C=,知B+2C=不合要求.
再由2C-B=,得B=,C=.
所以A=,B=,C=.
题型二二倍角公式的应用
例2化简:
(1)cos72°
cos36°
(2)cos20°
cos40°
cos60°
cos80°
(3)cosα·
cos·
…·
cos.
解析
(1)cos36°
cos72°
=
==.
(2)原式=cos20°
(3)原式同乘除因式sin,然后逐次使用倍角公式解得
原式=.
点评 解的过程中反复地使用二倍角公式sin2α=2sinαcosα.要注意到凡是角是二倍角关系的余弦函数的连乘积问题时,可采用类似的方法解之.
变式迁移2
化简:
(-tan)·
(1+tanα·
tan).
解析 原式
=·
题型三角的凑配
例3已知<α<,0<β<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.
分析 注意到(+β)-(-α)=+(α+β).欲求sin(α+β),即求-cos(+α+β),这只需求出cos(+β)和sin(-α)的值.因此“整体变换”的方法是解本题的合理选择.
解析 -<-α<0,
∴sin(-α)=-,<+β<π,
∴cos(+β)=-.
sin(α+β)=-cos[+(α+β)]
=-cos[(+β)-(-α)]
=-cos(+β)·
cos(-α)-sin(+β)·
sin(-α)
=×
-×
(-)=.
点评 角度的和差之间相差kπ或kπ+(k∈Z)时,可以用诱导公式进行变换.本题若从已知直接去求sinα、cosα、sinβ、cosβ,则解题过程十分复杂.因此类似问题中应考虑优先使用上面的简捷解法.
变式迁移3
已知sinα=,tan(α+β)=1,且α是第二象限的角,那么tanβ的值是( )
A. B.-
C.7D.-7
答案 D
解析 由sinα=,α是第二象限角,
可得tanα=-,从而
tanβ=tan[(α+β)-α]
==-7.
题型四辅助角公式的应用
例4不查表,计算-+64sin220°
解析 原式=+64sin220°
=+64sin220°
=32cos40°
+64×
=32.
点评 对于形如asinα±
bcosα的三角函数式的化简求值,往往需要通过提取公因式构造辅助角(主要为,,),然后逆用两角和与差的正、余弦公式化简,尤其是当系数中含有时,一般都可运用辅助角公式.
变式迁移4
已知函数f(x)=2cos2x+sin2x,x∈R.
(1)求f(x)的最大值及相应的x的取值集合;
(2)求f(x)的单调递增区间.
解析
(1)f(x)=2cos2x+sin2x=2sin(2x+)+1,
当2x+=+2kπ(k∈Z),即x=+kπ(k∈Z)时,f(x)取最大值3.
所以,f(x)的最大值为3,相应的x的取值集合为{x|x=+kπ,k∈Z}.
(2)f(x)=2sin(2x+)+1,
由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈