广义积分概念引入的几何背景分析Word格式文档下载.docx
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=1的右方、
轴上方的平面区域面积。
分析：
所求面积的区域如下图。
由于区域是不封锁的，故不可用定积分直接求其面积。
但所给区域是确信的（即坐标面上任何一点在该区域的内部、外部或边界上是明确的）。
在x=1的右边做一条垂直于x轴的直线x=a（a>
1）,则曲线f（x）=
、
=1、
=a、x轴围成一个曲边梯形（阴影部份所示），其面积用定积分表示为
。
要求其面积的不封锁区域可想象成右边界在无穷远处的曲边梯形。
该曲边梯形课由阴影部份曲边梯形的右边界x=a沿x轴正方向无穷远处平移取得，故其面积可从形式上类比
到
，而其实质为
（
对应于阴影部份曲边梯形的右边界x=a向右平移至无穷远处）。
故所求面积为
=
解：
设曲线f（x）=
轴上方的平面区域的面积为A，则
A=
=
（
）
（1
=1
因此曲线f（x）=
的下方、x=1的右方、x轴上方的平面区域的面积为1。
例2求曲线f（x）=
的下方、x=-1的左方、x轴上方的平面区域的面积。
在x=-1的左侧做一条垂直于x轴的直线x=a（a<
-1）,则曲线f（x）=
=-1、
要求其面积的不封锁区域可想象成左边界在无穷远处的曲边梯形。
该曲边梯形课由阴影部份曲边梯形的右边界x=a沿x轴负方向无穷远处平移取得，故其面积可从形式上类比
对应于阴影部份曲边梯形的右边界x=a向左平移至无穷远处）。
的下方、x=-1的左方、x轴上方的平面区域的面积为A，
=1
则曲线f（x）=
的下方、x=-1的左方、x轴上方的平面区域的面积为1
例3求曲线f（x）=
下方、x轴上方的平面区域的面积。
所求区域的面积如下图。
由于区域不是闭合区域，故无法用定积分直接表示其面积。
任作一条垂直于x轴的直线x=c，则区域被分成左、右两个部份。
依照例一、例2的方式，别离在x=c左、右作垂直于x轴的直线x=a与x=b，那么两部份的面积可别离表示为
=
而所求面积的区域可看成上下边界为曲线
与x轴左右边界别离在左右无穷远处的曲边梯形，故其面积可形式上记为
从而所求面积为
+
下方、x轴上方的平面区域的面积为C，那么
C=
）+
下方、x轴上方的平面区域的面积为
三、无界函数的广义积分的几何背景
假设无界函数f（x）在（a,b]上成心义，在a点周围无界。
依照无界函数广义积分的概念，对任意的
>
0，函数f（x）在[a+
b]上可积，当
趋向于0时，函数的广义积分为
=
由此可联想到广义积分的几何问题。
如以下图为无界函数f（x）的图像，f（x）在（a,b]上成心义，在a周围无界，曲线f（x）下方、x轴上方y=b右边的区域的面积为A。
咱们将x=0向左平移
（a<
<
b）,现在问题就转化为定积分的问题。
由f（x），x=
x=b和x轴围成的图形的面积A为
，
当a趋向于0时，所求面积为S=
例1求曲线
下方、直线
右方、
轴上方、
轴左方的区域的面积。
所求面积区域如下图。
由于
为函数
的无穷中断点，故所给区域不闭合。
但平面区域是闭合的（即平面上的任一点在区域的内部、外部或边界上是明确的）。
由于区域不闭合，不能用定积分之直接表示其面积。
在直线
与
之间做一条垂直于
轴的直线
（-1<
0）,得一曲边梯形（如阴影部份所示），其面积课表示为
需求面积的不封锁区域可看成由阴影部份所示的曲边梯形的右边界
从
左侧向直线
无穷平移取得。
故不封锁区域的面积可形式上记为
，其实质为
或
，即
设所求曲线
轴左方的区域的面积为A。
A=
由上述计算结果可知
发散，故所求区域的面积为
例2求曲线
左方、
轴右方的区域的面积。
但平面区域是闭合的。
由于区域不闭合，不能用定积分直接表示其面积。
之间作一条垂直于
（0<
1）,得一曲边梯形（如阴影部份所示），其面积课表示为
右侧向直线
详解法同例1。
例3求函数f（x）=
下方、x=-1右方、x=1左方、x轴上方的区域面积。
所求面积如图所示。
由
为函数f（x）=
，的无穷中断点知区域不封锁，故其面积不能用定积分来直接表示。
直线
将区域分成左右两个部份，由例一、例2分析知其对应面积别离表示为
＋
所求面积可形式上表示为
＝
，故所求面积为
设函数f（x）=
下方、x=-1右方、x=1左方、x轴上方的区域面积为S，
求得S为
，即所求面积为
例4求曲线f（x）=
x<
）、x=
左侧、
轴上方，
右边的区域的面积。
所给区域不闭合，那么不能用定积分直接求其面积，在
）。
令由f（x）=
与x=
轴，x=
轴所围成的图形面积为S，
S=
d（x）
=
注：
，因此
，因此设
，那么
即
四、列举实例对两种广义积分的几何应用进行说明
下方，
轴上方的区域的面积。
令曲线
轴上方的区域的面积为S，那么
S=
例2求曲线
下方、左方
、x轴上方、y轴右方的区域的面积。
、x轴上方、y轴右方的区域的面积为S，那么
所求面积为
五、介绍广义积分的立体几何应用
例设有一不封锁曲边形，它是由持续曲线f（x）=
（x>
0）、x轴、轴及x=a（a>
0）所组成，它绕x轴旋转一圈而成立体，求旋转体的体积。
由于该旋转体不封锁，不能直接用定积分来求，咱们作一个垂直于x轴的平面
去截取该图形，让
无穷趋向于
平面。
设平面
为
，那么在区间[m,a]内任何一个垂直与y轴的平面与那个旋转体相交的截面积
A（y）=
由此咱们取得该旋转体的体积为:
V（y）=
=
六、广义积分的几何意义
（一）无穷区间上的广义积分的几何意义
若
在[
）（或（
]）上概念存在，在
上
时,定积分
在几何上表示曲线
、两条直线
轴所围成的曲边梯形的面积。
咱们将直线
无穷向左平移（或将直线
无穷向右平移）取得广义积分
（或
）的几何意义。
在
时，同理可得其几何意义。
（二）无界函数的广义积分的几何意义
在（
]上有概念，在
点周围无界，且对任意小的
，在
上可积，那么广义积分
的几何意义是曲线
当
时，即直线
无穷趋向于0时，即得广义积分
的几何意义。
同理可得
在b点周围无界的广义积分的几何意义。
[参考文献]
一、宋开泰、黄象鼎、朱方生微积分：
武汉大学出版社，2005
二、谢盛刚、李娟、陈秋桂微积分：
科学出版社，2004
3、欧阳光中、姚允龙数学分析,2002
4、王永安、广义积分：
定积分在极限思想下的自然延伸
Theconceptofgeneralizedintegralgeometrybackgroundanalysis
AbstractWestudythedefiniteintegralisintuitivegeometricmeaning,thedefiniteintegraloftheintervalforfiniteinterval,thefunctiontotheintervalonaboundedfunction.Whenwegetridoftheselimitations,theresultsinimproperintegrals,weusedtheminthelinksbetweentheGeneralintegralgeometrybackground.
Keyworddefiniteintegralgeneralizedintegralgeometrybackground
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