假设检验计算和证明题文档格式.docx

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（ii）设

求

时不犯第二类错误的概率.

（i）.在

成立下,

是N（0，1）分布的

分位点。

在H1成立下,

=

当

增加时，

减少，从而

减少；

反之当

减少时，将导致

增加。

（ii）不犯第二类错误的概率为1-

。

3．设一个单一观测的子样

取自密度函数为f（x）的母体，对f（x）考虑统计假设：

试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足

，并求其最小值。

解：

设检验函数为

（[C,1]为检验拒绝域）

要使

达到最小，当1-4x

时,

=0；

当1-4x<

0时,

=1.

所以检验函数应取 

此时

4，设某产品指标服从正态分布，它的根方差

已知为150小时，今由一批产品中随机地抽查了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为这批产品的指标为1600小时？

母体

， 

对假设

采用U—检验法，

在H0为真下，检验统计量观察值为

时临界值

由于

所以接受

，

即不能否定这批产品指标为1600小时

5某电器零件的平均电阻一直保持在2.64

均方差保持在0.06

.改变加工工艺后测的100个零件,其平均电阻为2.62

均方差不变.问新工艺对此零件的电阻有无显著差异?

取显著性水平

设改变工艺后，电器零件电阻为随机变量

，则

未知，

检验假设

从母体中取了容量为100子样，

近似服从正态分布，即：

因而对假设

可采用u—检验计算检验统计量观察值

所以拒绝原假设

即改革工艺后零件的电阻一有显著差异。

6.有一种新安眠剂,据说在一定剂量下能比某种就旧暗昧安眠剂平均增加睡眠时间3小时,根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时,均方差为1.8小时,为了检验新安眠剂的这种说法是否正确,收集到一种使用新安眠剂的睡眠时间（以小时为单位）为:

26.7, 

22.0, 

24.1, 

21.0, 

27.2, 

25.0, 

23.4

试问这组数据能否说明新安眠剂已达到新的疗效?

设新安眠剂疗效为随机变量

检验假设

从母体中取了容量为7子样，

所以接收原假设

，即新安眠剂未达到新的疗效。

7．设X1,X2,---,Xn为取自总体X~

的简单随机样本，其中

0为已知常数，选择统计量U=

，求

的1-

的置信区间。

由于U=

服从

（n）， 

于是

故 

的置信区间 

8．在某校的一个班体检记录中，随意抄录25名男生的身高数据，测得平均高为170厘米，（修正）标准差为12厘米，试求该班男生的平均身高

和身高标准差

的0.95置信区间（假设身高近似服从正态分布）。

由题设 

身高X~N（

），n=25，

（1）先求的置信区间（

未知）取

，故

置信区间为：

（170

）=（170-4.94,170+4.94）=（165.06,174.94）

（2）. 

的置信区间（

故

的0.95置信区间为

9．在测量反应时间中，一心理学家估计的标准差为0.05秒，为了以95%的置信度使他对平均反应时间的估计误差不超过0.01秒，应取多大的样本容量n?

以X表示反应时间，则

为平均反应时间，由条件知，样本标准差S=0.05,用样本均值

估计

当n充分大时，统计量

近似服从标准正态分布N（0，1），根据条件，要求样本容量满足

. 

即

即应取样本容量n为96或97。

10．设X1,X2,---,Xn为取自总体X的简单随机样本，试证:

S2=

（其中

）是D（X）的无偏估计。

11．设X1,X2,---,Xn为取自总体X~P（

）的简单随机样本，对任一数值

，（0

1），试证：

+（1-

）S2是

的无偏估计.

其中:

S2=

12．设从均值为

方差为

的总体中，分别抽取容量为n1,n2的两个独立样本，

1和

2分别为两样本的均值，试证对于任意常数a,b,（a+b=1）,Y=a

1+b

2也是

的无偏估计，并确定常数a,b,使D（Y）达到最小.

22．在某年级学生中抽测9名跳远年成绩，得样本均值

=4.38m.假设跳远绩

X服从正态分布，且

=03,问是否可认为该年级学生跳远平均成绩为

=4.40m（

=0.10）.

（1）

（2）选统计量

（3）查标准正态分布表，得出临界值

拒绝域

（4）算得,

显然0.2不在拒绝域内，因此H0被接收，即可认为该年级学生跳远平均成绩为4.40米。

23．设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差S*为15分，问在显著水平0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？

并给出检验过程。

（1）待检假设

备择假设

（2）在H0成立条件下选择统计量 

（3）在显著性水平0.05下，查t分布表，找出临界值

拒绝域 

（4）计算

，故接受H0,，因此可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。

24．某厂生产的电子仪表的寿命服从正态分布，其标准差为

=1.6,改进新工艺后，从新的产品抽出9件，测得平均寿命

=52.8, 

S2=1.19，问用新工艺后仪表的寿命方差是否发生了变化？

（取显著性水平

=0.05）

（！

）待检假设

，备择假设

（2）选取统计量

（3）查

分布表，找出临界值

拒绝域为

，接受H0，即改进工艺后仪表寿命的方差没有显著变化。

25．电工器材厂生产一批保险丝，抽取10根试验其熔断时间，结果为：

42, 

65, 

75, 

78, 

71, 

59, 

57, 

68, 

54, 

55. 

问是否可认为整批保险丝的熔断时间的方差不大于80？

（熔断时间服从正态分布，显著性水平

=0.05）.

（3）由

查

分布表

（4）

故接受假设H0，即在

下，可认为整批保险丝的熔断时间的方差不大于80.

26．某校从经常参加体育锻炼的男生中随机地选出50名,测得平均身高174.34厘米从不经常参加体育锻炼的男生中随机地选50名，测得平均身172.42厘米，统计资料表明两种男生的身高都服从正态分布，其标准差分别为5.35和6.11厘米，问该校经常参加锻炼的男生是否比不常参加体育锻炼的男生平均身高些？

X,Y分别表常锻炼和不常锻炼男生的身高，由题设

（1）待检假设

（2）选取统计量

（3）对于

查正态分布表，

（4）计算

故否定假设

即表明经常体育锻炼的男生平均身高不比不经常体育锻炼的男生平均身高高些。

七（10分）在一台自动车床上生产直径为2.050毫米的轴，其直径据经验服从正态分布，为了检验这一车床的生产是否受时间的影响，现每隔二小时，各抽取容量都为10的子样，其子样均值分别

；

方差的无偏估计值分别对应为

要求在显著性水平

下检验假设

（认为

）。

六（10分）某厂生产的电子仪表的寿命服从正态分布，其标准差为

1.6,改进新工艺后，从新的产品抽出9件，测得平均寿命

52.8,S2=1.19，问用新工艺后仪表的寿命的方差是否发生了变化（取显著性水平

0.05,

）

七（10分）设某厂一车床生产的纽扣，其直径据经验服从正态

，现抽取容量

的子样，其子样均值

求

的置信度为

=0。

95的置信区间。

1.设X1,X2,X3是来自Bernoullib（1,p）分布的样本，检验问题

的一个否定域为

试求该否定域的第一、二类错误概率和p=3/4时的功效。

2.设X1,X2,

是来自密度函数为f（x）的总体样本，关于f（x）有假设检验问题:

其中f0（x）和f1（x）都是已知函数，令W为假设H0的否定域，试通过f0（x）和f1（x）表示两类错误概率，（f0（x）不恒等于f1（x））.

3.设X是

上的均匀分布的一个观测值，考虑假设检验问题

构造检验法，使其功效函数

（

）满足

）.（即两类错误概率均匀为零）

4.设随机变量X的分布密数f（x）可取下面的f0（x）或f1（x）:

f0（x）=

:

f1（x）=

基于一个观测X，来回答检验问题

取检验水平0,1,求出使第二类错误概率

最小的检验法.

5．设随机变量X有分布密度f（x;

）,

末知,x1x2

xn为X的样本，考虑假设检验问题:

H0:

=

其中

是给定值，设a,b为给定的正常数，记L（x,

）=

f（xi;

） 

（

=（x1,

n））,考虑如下检验法

*:

当aL（x,

0）>

bL（x,

1）时接受H0,当aL（

1）<

bL（

1）时拒绝H0,如果aL（x,

）=bL（

1）则既可接受H0也可拒绝H0.设

为

的第一，二类错误概率，试证对任意检验法

若

的第一、二类错误概率，必有a

6．设X~N（

σ2）,μ0已知,X1,X2,

是X的样本，试分别求出下列检验问题的UMP检验（检验水平为

（1）H0: