高中数学第二章概率25随机变量的均值和方差数学期望在实际生活中的应用素材苏教版选修23Word文档下载推荐.docx

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Keywords:

MathematicalExpectation;

StochasticVariable;

quality;

PracticalApplication

目录

摘要1

Abstract2

第一章绪论4

1.1数学期望的起源及定义4

1.2数学期望的意义5

第二章数学期望前瞻5

2.1离散型5

2.2连续型6

2.3随机变量的数学期望值7

2.4单独数据的数学期望的算法7

2.5数学期望的基本性质8

第三章数学期望在实际中的应用8

3.1经济决策中的应用9

3.2彩票、抽奖问题9

3.2.1彩票问题9

3.2.2抽奖问题11

3.3求职决策问题12

3.4医疗问题13

3.5体育比赛问题14

结论16

参考文献16

第1章绪论

1.1数学期望的起源及定义

早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：

甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。

当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？

用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+（1/2）*（1/2）=3/4，或者分析乙获胜的概率为（1/2）*（1/2）=1/4。

因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。

这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

数学期望（mathematicalexpectation）简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，其定义我们可以通过一个数学例题来了解：

掷一枚质地均匀的骰子次，观察每次出现点数.它是一个随机变量，如果用、、、、、表示出现1、2、3、4、5、6点的次数，那么每次投掷骰子出现点数的平均值为

=

表示事件投掷骰子出现点的频率，由于频率具有波动性，因此该平均值也具有波动性，并不能代表每次投掷骰子出现点数的平均值，当很大时，应稳定于，故该平均值也应该稳定于

1+2+3+4+5+6

=（1+2+3+4+5+6）=

那么，这使得平均值是真正的每次投掷骰子出现点数的平均值，他是随机变量的可能取值与所对应的概率乘积的总和，这是一个常数，可以用来描述随机变量的数学特征，称之为的数学期望，记作E。

定义1若离散型随机变量可能取值为（=1，2，3，…），其分布列为（=1，2，3，…），则当<

时，则称存在数学期望，并且数学期望为E=，如果=，则数学期望不存在。

定义2设连续型随机变量的概率密度函数为,若积分是一个有限值，则称积分为的数学期望，记作，即。

1.2数学期望的意义

数学期望在实际中的应用涉及面又大又广泛，作为数学基础理论中统计学上的数字特征，广泛应用于数据分析、经济、社会、医学等领域。

其意义是解决实践中抽象出来的数学模型进行分析的方法，从而达到认识客观世界规律的目的，为进一步的决策分析等提供准确的理论依据。

第2章数学期望前瞻

2.1离散型

离散型随机变量的分类：

随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种（变量分为定性和定量两类，其中定性变量又分为分类变量和有序变量；

定量变量分为离散型和连续型），随机变量的函数仍为随机变量。

有些随机变量,它全部可能取到的不相同的值是有限个或无限多个，这种随机变量称为"

离散型随机变量"

。

离散型随机变量在某一范围内的取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和。

定义2.1：

如果随机变量X只可能取有限个或至多可列个值，则称X为离散型随机变量。

定义2.2：

设X为离散型随机变量，它的一切可能取值为X1，X2，……，Xn，……，记P=P{X=xn},n=1,2……（2.1）

称（2.1）式为X的概率函数，又称为X的概率分布，简称分布。

离散型随机变量的概率分布有两条基本性质：

（1）非负性Pn≥0n=1,2,…

（2）归一性∑pn=1

对于集合{xn,n=1,2,……}中的任何一个子集A,事件“X在A中取值”即“X∈A”的概率为

P{X∈A}=∑Pn

特别的，如果一个试验所包含的事件只有两个，其概率分布为

P{X=x1}=p（0<

p<

1）

P{X=x2}=1-p=q

这种分布称为两点分布。

如果x1=1,x2=0,有

P{X=1}=p

P{X=0}=q

这时称X服从参数为p的0-1分布，它是离散型随机变量分布中最简单的一种。

由于是数学家伯努利最先研究发现的，为了纪念他，我们也把服从这种分布的试验叫伯努利试验。

习惯上，把伯努利的一种结果称为“成功”，另一种称为“失败”。

2.2连续型

若随机变量X的分布函数F（x）可表示成一个非负可积函数f（x）的积分，则称X为连续性随机变量，f（x）称为X的概率密度函数（分布密度函数）。

能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。

离散型随机变量与连续型随机变量也是由随机变量取值范围（取值）确定，变量取值只能取离散型的自然数，就是离散型随机变量；

比如，一次掷20个硬币，k个硬币正面朝上，k是随机变量，k的取值只能是自然数0，1，2，…，20，而不能取小数3.5、无理数√20，因而k是离散型随机变量。

如果变量可以在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的，这随机变量就称为连续型随机变量；

比如，公共汽车每15分钟一班，某人在站台等车时间x是个随机变量，x的取值范围是[0,15），它是一个区间，从理论上说在这个区间内可取任一实数3.5、√20等，因而称这随机变量是连续型随机变量。

连续型随机变量X的概率密度函数为f（x），若积分：

绝对收敛，则称此积分值为随机变量X的数学期望，记为：

2.3随机变量的数学期望值

在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望、或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。

换句话说，期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。

需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等（我们可以用一道简单的数学题目来参照）。

假设：

某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠。

若该电梯在底层载有3位乘客,且每位乘客在第三层下电梯的概率均为3分之一，用期望值表示这3位乘客在第20曾下电梯的人数，求：

1.随机变量"

E"

（随机变量）的分布列

2.随机变量"

（随机变量）的期望

设A为这三个乘客中在第20层下电梯人数，则A的可能取值为0，1，2，3，下面计算每一种可能取值的概率：

P（A=0）=P（三个人都不在20层下）=（2/3）^3=8/27,

P（A=1）=P（其中两人不在20层下另一人在20层下）

=C（3，2）（2/3）^21/3=4/9,

P（A=2）=P（其中两人在20层下另一人不在20层下）

=C（3，2）（1/3）^22/3=2/9,

P（A=3）=P（三人都在20层下）=（1/3）^3=1/27

检验P（0）+P

（1）+P

（2）+P（3）=1,满足归一条件。

分布列及数学期望便即可得出：

A

1

2

3

P

8/27

4/9

2/9

1/27

数学期望E=1.

数学期望的计算还有更简单的方法：

每个人在三层中的任一层下电梯是等概率的，等可能事件，概率为1/3，

所以在每层下的人数的期望E=总人数*每个人在每层下的概率=31/3=1。

本题若改为有6人，则期望=61/3=2。

2.4单独数据的数学期望的算法

数学期望：

E（X）=X1p（X1）+X2p（X2）+……+Xnp（Xn）

X1,X2,X3，……，Xn为这几个数据，p（X1）,p（X2）,p（X3），……p（Xn）为这几个数据的概率函数。

在随机出现的几个数据中p（X1）,p（X2）,p（X3），……p（Xn）概率函数就理解为数据X1,X2,X3，……，Xn出现的频率f（Xi）.则：

E（X）=X1p（X1）+X2p（X2）+……+Xnp（Xn）=X1f1（X1）+X2f2（X2）+……+Xnfn（Xn）

很容易证明E（X）对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。

我们举个例子，比如说有这么几个数：

1，1