高考数学专题复习立体几何(理科)练习题.doc
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《立体几何》专题练习题
1．如图正方体中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，
P、Q分别为A1C1与EF、AC与BD的交点，
（1）求证：
D、B、F、E四点共面；
（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：
P、Q、R三点共线
2．已知直线、异面,平面过且平行于,平面过且平行于,求证:
∥．
F
E
C
B
y
Z
x
G
D
A
3.如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得，其中，
,若如图所示建立空间直角坐标系．
①求和点的坐标；
②求异面直线与所成的角；
③求点C到截面的距离．
4.如图，三棱锥P—ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．
（I）求证：
AB平面PCB；
（II）求异面直线AP与BC所成角的大小；
（III）求二面角C-PA-B的余弦值．
5.如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
（1）求证AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B—AC—E的余弦值．
6.已知正三棱柱的底面边长为2，点M在侧棱上.
（Ⅰ）若P为AC的中点，M为BB1的中点，求证BP//平面AMC1；
（Ⅱ）若AM与平面所成角为，试求BM的长.
P
A
B
C
D
E
7.如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，BC＝2．
（1）求证：
平面PDC⊥平面PAD；
（2）若E是PD的中点，求异面直线AE
与PC所成角的余弦值；
8.已知：
在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=a，AA1=2a.D是侧棱BB1的中点.求证：
（Ⅰ）求证：
平面ADC1⊥平面ACC1A1；
（Ⅱ）求平面ADC1与平面ABC所成二面角的余弦值．
9.已知直四棱柱的底面是菱形，且，为
棱的中点，为线段的中点．
（Ⅰ）求证：
直线平面；
（Ⅱ）求证：
直线平面；
（Ⅲ）求平面与平面所成二面角的大小
10.棱长是1的正方体，P、Q分别是棱AB、CC1上的内分点，满足.
（1）求证：
A1P⊥平面AQD；
（2）求直线PQ与平面AQD所成角的正弦值.
Q
P
D1C1
A1B1
DC
AB
11.如图,长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是线段B1D1、A1B上的点，且D1E=2EB1,BF=2FA1．
（1）求证:
EF∥AC1；
（2）若EF是两异面直线B1D1、A1B的公垂线段,求证该长方体为正方体．
D1C1
A1B1
E
F
DC
AB
12.如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1，B，M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.
（Ⅰ）求证：
EM∥平面A1B1C1D1；
（Ⅱ）求二面角B—A1N—B1的正切值.
参考答案
1．
（1）证明：
因为E、F分别为D1C1和B1C1的中点，
所以，又，所以四边形是平行四边形，
故，，
所以E、F、D、B四点共面.
（2），确定平面，
又，而，又，
而面，，即P，Q，R三点共线.
2．证明:
过作平面,使
∵∥,⊂,,∴∥
又∵⊄,⊂,∴∥且∥
又、异面,∴与必相交,∴∥.
F
E
C
B
y
Z
x
G
D
A
3.解
（1）
（2）
（3）
，
4.（I）证明：
（I）∵PC平面ABC，平面ABC，
∴PCAB
∵CD平面PAB，平面PAB，
∴CDAB．又，
∴AB平面PCB．
（II）由（I）AB平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC=．
以B为原点，如图建立坐标系．则
Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），C（，０，0），P（，０，2）．
，．则+0+0=2．
==．
∴异面直线AP与BC所成的角为．
（III）设平面PAB的法向量为m=（x，y，z）．，，
则即解得
令=-1,得m=（，0，-1）．
设平面PAC的法向量为n=（）．
，，
则即
解得令=1,得n=（1，1，0）．
=．
∴二面角C-PA-B的余弦值为
5.
（1）证明平面ACE.
∵二面角D—AB—E为直二面角，且，
平面ABE.
（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，
AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立
空间直角坐标系O—xyz，如图.
面BCE，BE面BCE，
，在的中点，
设平面AEC的一个法向量为，
则 解得
令得是平面AEC的一个法向量.
又平面BAC的一个法向量为，
∴二面角B—AC—E的余弦值为
6.（Ⅰ）证明：
连AC1、MC1，
取AC1的中点G，连MG，
则PG//BM且PG=BM=
故四边形PGMB为平行四边形，BP//MG，
又，
，
BP//平面AMC1
（II）建立如图的空间直角坐标系
设，
则点M的坐标为，，
平面的一个法向量为．
由题意得，
故
7.解：
以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，
P
A
B
C
D
E
AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），
B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1），
E（0，1，）．
∴＝（－1，0，0），＝（0，2，0），＝（0，0，1），
＝（0，1，），＝（1，2，－1），
（1）平面PDC⊥平面PAD．
（2）∵cos＝＝，
∴所求角的余弦值为．
8.
解（Ⅰ）以A点为原点，AA1为z轴，AB为y轴，过A点与AB垂直的直线为x轴，如图建立空间直角坐标系.则
A（0，0，0）B（0，a，0）C（）
D（0，a，a）C1（）
取AC1的中点M，则M点坐标为（a，a，a）
=（0，a，a）
=（0，a，0）
∴AC1⊥DM，AC⊥DM
∴DM⊥平面ACC1A1
又DM平面ADC1
∴平面ADC1⊥平面ACC1A1
（Ⅱ）设平面ADC1的法向量=（x，y，z）
·（x，y，z）=0=（0，a，a）·（x，y，z）=0
即
不妨取平面ABC的法向量为=（0，0，2a）
平面ABC的平面ADC1的夹角为
∴cos==
9.解：
设ACBD=O，因为M、O分别为C1A、CA的中点，
所以，MO//C1C，又由直四棱柱知C1C⊥平面ABCD，
所以，MO⊥平面ABCD.在菱形ABCD中，BD⊥AC，
所以，OB、OC、OM两两垂直.故可以O为原点，OB、
OC、OM所在直线分别为轴、轴、轴，如图
建立空间直角坐标系，若设|OB|=1，则B（1，0，0），
B1（1，0，2），A（0，，0），C（0，，0），
C1（0，，2）.
（I）由F、M分别为B1B、C1A的中点可知：
F（1，0，1），
M（0，0，1），所以（1，0，0）=
又与不共线，所以，MF∥OB.
平面ABCD，OB平面ABCD，
∥平面ABCD
（II）（1，0，0），而（1，0，0）为平面（即平面ACC1A1）的法向量.
所以，平面MF⊥平面ACC1A1.
（III）为平面ABCD的法向量，
设的一个法向量，则
.
设平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为，
则
所以=30°.即平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30°
10.解
（1）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别
为x、y、z轴建立空间直角坐标系0－xyz，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），
A1（1，0，1），C1（0，1，1），P（1，），Q（0，1，），
，
，
．
（2）设PQ与平面AQD所成角为θ，
则直线PQ与平面AQD所成角的正弦值是
11.DC
AB
D1C1
A1B1
E
F
x
y
z
（1）如图,以D为原点,DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,
建立空间直角坐标系.设DA=a,DC=b,DD1=c，
则E（a,b,c）,F（a,b,c）,A（a,0,0）,C1（0,b,c）.
∵FE与AC1不共线,∴FE∥AC1.
（2）∵D1（0,0,c）,B1（a,b,c）,A1（a,0,c）,B（a,b,0）,
∴
∵EF是两异面直线B1D1、A1B的公垂线段,∴EF⊥B1D1,EF⊥A1B.
∴－a2＋b2=0,b2－c2=0,∴a=b=c.
∴该长方体为正方体.
12.（Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2a，AA1=a（a>0），则
A1（2a，0，a），B（2a,2a,0）,C（0，2a，0），C1（0，2a，a）
∵E为A1B的中点，M为CC1的中点∴E（2a,a,），M（0，2a,）
∴EM//A1B1C1D1
（Ⅱ）设平面A1BM的法向量为=（x,y,z），
又=（0，2a,－a）由，得
而平面A1B1C1D1的法向量为.设二面角为，则
又：
二面角为锐二面角
从而．
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