最新人教版A版高三数学理高考一轮复习93 二项式定理教学设计及答案Word格式文档下载.docx

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60

2.8的展开式中的有项共有________项．

∵Tr＋1＝C（）8－rr＝rCx∴r为4的倍，故r＝0,4,8共3项．

3

知识点二　二项式系与项的系

1．二项式系与项的系

（1）二项式系

二项展开式中各项的系C（k∈{0,1，…，n}）叫作二项式系．

（2）项的系

项的系是该项中非字母因部分，包括符号等，与二项式系是两个不同的概念．

2．二项式系的性质

性　质

内　容

对称性

与首末两端等距离的两个二项式系相等，即C＝C

增减性

当k<

时，二项式系逐渐增大；

当k>

时，二项式系逐渐减小

最大值

当n是偶时，中间一项的二项式系最大，最大值为Cn；

当n是奇时，中间两项的二项式系相等，且同时取得最大值，最大值为Cn或Cn

3.各二项式系的和

（a＋b）n的展开式的各个二项式系的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.

二项展开式中，偶项的二项式系的和等于奇项的二项式系的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.

易误提醒　二项式系与展开式项的系的异同：

在Tk＋1＝Can－kbk中，C就是该项的二项式系，它与a，b的值无关；

Tk＋1项的系指简后除字母以外的，如a＝2x，b＝3y，Tk＋1＝C2n－k·

3kxn－kyk，其中C2n－k3k就是Tk＋1项的系．

3．（2015·

高考四川卷）在（2x－1）5的展开式中，含x2的项的系是________．（用字填写答案）．

由二项展开式的通项Tr＋1＝C（2x）5－r（－1）r（r＝0,1，…，5）知，当r＝3时，T4＝C（2x）5－3（－1）3＝－40x2，所以含x2的项的系是－40.

－40

4．C＋3C＋5C＋…＋（2n＋1）C＝________.

设S＝C＋3C＋5C＋…＋（2n－1）·

C＋（2n＋1）C，

∴S＝（2n＋1）C＋（2n－1）C＋…＋3C＋C，

∴2S＝2（n＋1）（C＋C＋C＋…＋C）＝2（n＋1）·

2n，

∴S＝（n＋1）·

2n.

（n＋1）·

2n

考点一　二项展开式中特定项与系问题|

1．（2016·

海淀模拟）3的展开式中的常项为（　　）

A．12B．－12

C．6D．－6

由题意可得，二项展开式的通项为Tr＋1＝C·

（x2）3－rr＝（－2）rCx6－3r，令6－3r＝0，得r＝2，∴3的展开式中的常项为T2＋1＝（－2）2C＝12，故选A.

A

2．（2015·

高考安徽卷）7的展开式中x5的系是________．（用字填写答案）

由题意知，展开式的通项为Tr＋1＝C（x3）7－rr＝Cx21－4r，令21－4r＝5，则r＝4，∴T5＝Cx5＝35x5，故x5的系为35.

35

3．若n展开式中含有x2项，则n的最小值是________．

n的展开式的通项是Tr＋1＝C·

n－r·

（－x）r＝C·

（－1）r·

xr－n.依题意得，关于r的方程r－n＝2，即r＝有正整解；

又2与5互质，因此n＋2必是5的倍，即n＋2＝5k，n＝5k－2，n的最小值是3.

求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行简通项公式后，令字母的指符合要求（求常项时，指为零；

求有项时，指为整等），解出项r＋1，代回通项公式即可．

　　　考点二　二项式系性质与各项系和问题|

（1）若n展开式中只有第6项的二项式系最大，则展开式的常项是（　　）

A．360B．180

C．90D．45

（2）若a1（x－1）4＋a2（x－1）3＋a3（x－1）2＋a4（x－1）＋a5＝x4，则a2＋a3＋a4＝________.

[解析]　

（1）展开式中只有第6项的二项式系最大，则展开式总共11项，所以n＝10，

通项公式为Tr＋1＝C（）10－r·

r＝C2rx5－r，

所以r＝2时，常项为180.

（2）x4＝[（x－1）＋1]4＝C（x－1）4＋C（x－1）3＋C（x－1）2＋C（x－1）＋C，对照a1（x－1）4＋a2（x－1）3＋a3（x－1）2＋a4（x－1）＋a5＝x4得a2＝C，a3＝C，a4＝C，所以a2＋a3＋a4＝C＋C＋C＝14.

[答案]　

（1）B　

（2）14

（1）赋值法研究二项式的系和问题

“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如（ax＋b）n、（ax2＋bx＋c）m（a，b∈R）的式子求其展开式的各项系之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；

对形如（ax＋by）n（a，b∈R）的式子求其展开式的各项系之和，只需令x＝y＝1即可．

（2）二项式系最大项的确定方法

（1）如果n是偶，则中间一项的二项式系最大．

（2）如果n是奇，则中间两项的二项式系相等并最大．

（2015·

成都一中模拟）设（x2＋1）（2x＋1）9＝a0＋a1（x＋2）＋a2（x＋2）2＋…＋a11（x＋2）11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为（　　）

A．－2B．－1

C．1D．2

令等式中x＝－1可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝（1＋1）（－1）9＝－2，故选A.

考点三　多项式展开式中特定项或系问题|

在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的归能力，归纳起常见的命题角度有：

1．几个多项式和的展开式中的特定项（系）问题．

2．几个多项式积的展开式中的特定项（系）问题．

3．三项展开式中的特定项（系）问题．

探究一　几个多项式和的展开式中的特定项（系）问题

商丘月考）在（1－x）5＋（1－x）6＋（1－x）7＋（1－x）8的展开式中，含x3的项的系是（　　）

A．74B．121

C．－74D．－121

展开式中含x3项的系为C（－1）3＋C（－1）3＋C（－1）3＋C（－1）3＝－121.

D

探究二　几个多项式积的展开式中的特定项（系）问题

高考全国卷Ⅱ）（a＋x）（1＋x）4的展开式中x的奇次幂项的系之和为32，则a＝________.

法一：

直接将（a＋x）（1＋x）4展开得x5＋（a＋4）x4＋（6＋4a）x3＋（4＋6a）x2＋（1＋4a）x＋a，由题意得1＋（6＋4a）＋（1＋4a）＝32，解得a＝3.

法二：

（1＋x）4展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，由题意可知，a（C＋C）＋C＋C＋C＝32，解得a＝3.

探究三　三项展开式中特定项（系）问题

高考全国卷Ⅰ）（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系为（　　）

A．10B．20

C．30D．60

（x2＋x＋y）5＝[（x2＋x）＋y]5的展开式中只有C（x2＋x）3y2中含x5y2，易知x5y2的系为CC＝30，故选C.

C

（1）对于几个多项式和的展开式中的特定项（系）问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．

（2）对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．

（3）对于三项式问题一般先变形为二项式再解决．

　　30.一般与特殊的思想在二项式问题中的应用（赋值法）

【典例】　若（2x＋）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则（a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3）2的值是________．

[思维点拨]　要求解的问题与二项式系有关考虑赋值法，令x＝±

1，可求得奇项与偶项系之和．

[解析]　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝（2＋）4，①

令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝（－2＋）4.②

故（a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3）2＝（a0＋a2＋a4＋a1＋a3）（a0＋a2＋a4－a1－a3）＝（2＋）4×

（－2＋）4＝（3－4）4＝1.

[答案]　1

[方法点评]　赋值法是求展开式中的系与系和的常用方法，注意所赋的值要有利于问题的解决，可以取一个或几个值，常赋的值为0，±

1.一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）的展开式中各项系之和为f

（1），奇项系之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶项系之和为a1＋a3＋a5＋…＝.

[跟踪练习]　若（1＋x＋x2）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.

令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，

令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1，

∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝.

令x＝0，则a0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364.

364

A组　考点能力演练

1．若n的展开式中的所有二项式系之和为512，则该展开式中常项为（　　）

A．－84　　　　　　　　B．84

C．－36D．36

由二项式系之和为2n＝512，得n＝9.又Tr＋1＝（－1）rCx18－3r，

令18－3r＝0，得r＝6，故常项为T7＝84.故选B.

B

2．已知（1＋ax）（1＋x）5的展开式中x2的系为5，则a＝（　　）

A．－4B．－3

C．－2D．－1

（1＋x）5中含x与x2的项为T2＝Cx＝5x，

T3＝Cx2＝10x2，∴x2的系为10＋5a＝5，∴a＝－1.

3．（2016·

青岛模拟）设（1＋x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系最大的项是（　　）

A．15x2B．20x3

C．21x3D．35x3

∵（1＋x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，

令x＝0，得a0＝1.

令x＝1，则（1＋1）n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，∴n＝6，

又（1＋x）6的展开式二项式系最大项的系最大，

∴（1＋x）6的展开式系最大项为T4＝Cx3＝20x3.

4．（2016·

西城一模）若m的展开式中二项式系之和为128，则展开式中的系是（　　）

A．21B．－21

C．7D．－7

∵2m＝128，∴m＝7，∴展开式的通项Tr＋1＝C（3x）7－r·

r＝C37－r（－1）rx7－，

令7－r＝－3，解得r＝6，

∴的系为C37－6（－1）6＝21，故选A.

5．（2016·

广州调研）已知a＝2cosdx，则二项式5的展开式中x的系为（　　）

A．10B．－10

C．80D．－80

a＝2cosdx＝2sin＝－2，展开式的通项为Tr＋1＝C（－2）rx10－3r，令10－3r＝1，则r＝3，T4＝