届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列之平面向量Word文档格式.docx

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例1向量，则与平行的单位向量的坐标为

解析：

因为，所以所求的单位向量为，即与平行的单位向量的坐标为。

评析：

本题主要考查两个重要知识点，即平行向量和单位向量的概念，因混淆了“与同向的单位向量”和“与平行的单位向量”这两个不同的概念，出现错解：

因为故所求向量为，在复习时，只有深刻理解平行向量和单位向量的概念，才能达到正确解题的目的。

例2在边长为1的正三角形中，

本题主要考查向量夹角的定义及数量积的计算公式，学生易错解如下：

．这是由于对两向量夹角的概念理解不到位造成的，所以教学时必须强调两向量夹角的前提是其起点要重合。

问题

（二）运算理解不到位，不能合理选择算法

学生存在的主要问题是：

（1）对向量运算理解不到位，比如会错把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上；

（2）算法选择不合理，学生往往选择常规解法，导致过繁运算，计算量过大，甚至无法解答下去。

只有熟练掌握向量的运算技巧，根据题设条件合理选择算法，才能达到正确运算的目的。

例3已知与之间有关系其中。

（1）用表示;

（2）求的最小值，并求此时的夹角的大小．

（1）要求用表示,而已知，故两边取平方得即

∴，即

∴

（2）,即∴的最小值为，

又,　

∴.∴,此时与的夹角为60°

本题主要考查向量的数量积公式、向量的模以及将向量问题转化为实数计算的意识，学生可能会把直接坐标化，导致过繁运算，实际还是归结为运算不注意算理的选择．在解决问题时，只有熟练掌握向量的运算技巧，根据题设条件选择合理的算法，才能达到正确运算的目的。

例4是平面上一定点，是平面上不共线的三个点,动点满足，则的轨迹一定通过的心．

由可得，而的几何意义是的角平分线，且角平分线的交点是三角形的内心，的轨迹一定通过的内心．

本题主要考查向量运算的几何意义及向量共线定理．本题学生产生的错因是对理解不够。

不清楚的几何意义是与的角平分线有关．的几何意义是与共线同向的单位向量，因此掌握向量运算的几何意义及向量共线定理是关键．

问题（三）.不能等价转换向量问题

学生主要问题体现在：

题设条件问题转换不等价，在平时复习中，关注学生对相关概念、定理、公式等的本质的挖掘与掌握至关重要。

例5设若与的夹角为钝角，则的取值范围为

，因为为钝角，所以且与不共线，即且，所以且．

本题主要考查向量的夹角公式，学生易错解如下：

，因为为钝角，所以．这是由于问题转换不等价造成的，其实向量与的夹角为钝角的充要条件是且与不共线．这里，与不共线不能忽略．

例6向量、都是非零向量，且向量与垂直，与垂直，求与的夹角．

由题意，得，①　，②

将①、②展开并相减，得，即，代入①式、②式均可得，则，设与夹角为，则．又∵，∴．

本题主要考查向量的垂直，向量的数量积及夹角公式，本题易出现下列错解：

由题意，得，①　，②　将①、②展开并相减，得，③　∵，故，④　将④代入②，得，　则，

设与夹角为，则．又∵，∴．

此解法表面上是正确的，但却存在着一个理解上的错误，即由③得到④，错把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上．深刻理解数量积的运算律，掌握其本质非常关键。

问题（四）.不能合理选择基底

不能合理选择基底解决问题，原因是学生对于平面向量基本定理并没有真正理解，所以在复习中，深刻理解平面向量基本定理，让学生真正掌握定理的本质及解决问题的技巧是关键。

例7在中，，若点D满足,则=（）

A.B.C.D.

法1：

=.故选A.

法2：

特殊化思想：

把此三角形特殊为等腰直角三角形，并把点置于原点，

且设,则，所以,故选A.

法3：

因为，由定比分点线性表示知,故选A.

评析：

本题主要考查平面向量的概念及线性表示，用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：

（1）①观察各向量的位置；

②利用回路法，寻找相应的三角形或多边形；

③运用法则找关系；

④化简结果．

也可以利用定比分点，若则.

问题（五）.不能合理运用向量解决问题

考查向量语言，体现向量的的工具性，解决平行与垂直的问题，与三角函数和解析几何的交汇是高考常见题型，学生的主要问题就是缺乏用向量解决问题的意识，导致运算量过大，甚至无法解答下去，因此，在复习中教师应重视向量在这方面的运用指导，引导学生拓展思路，必定会有意想不到的神奇效果。

例8在中，内角的对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若，且边的中线，求的值．

（1），，

，，

又，

（2）∵为边的中点，∴，两边同时平方，得即，，整理，得，解得或（舍去）．∴

本题主要考查三角诱导公式，二倍角公式，余弦定理以及应用平面向量解决问题的意识。

对于第（Ⅱ）问，题中未出现平面向量，如果按照常规思路，只会想到正、余弦定理及方程思想，则运算量较大，导致解题速度慢或出错.但如果学生有主动运用平面向量的意识，可使代数问题向量化——充分体现向量的工具性、桥梁作用，会大大减少运算量,从而轻松解决问题，体现了不同层次学生的思维能力.

二、平面向量复习的思考与对策

1．加强概念学习，注重本质理解

在平面向量的概念复习中，如何让学生迅速把握住本质，达成理解？

重温概念的来龙去脉，理清知识网络，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要素：

大小、方向进行拓展，将向量概念精准化．学生存在的问题之一是：

概念不清，符号表示混乱，针对此问题，一方面教师在板书、表达等方面一定要准确和多方强调，另一方面，也可设置一些判断题，帮助学生辨析概念．

例9下列命题中，真命题的序号为：

______．

①是四点构成平行四边形的充要条件；

②；

③单位向量不一定都相等；

④若向量满足，则；

⑤的充要条件是，且；

⑥若，则或；

⑦若，则或为零向量．

2．加强运算训练，关注算法选择

单纯看向量的运算，实际上是比较抽象的．在复习中若能恰当运用模型，运用类比，不仅可以降低难度，而且对于学生认识抽象的运算有很大的好处：

比如说：

向量这个概念源于物理中的力、位移，那么力的合成、位移的合成实际上就是向量加法的模型，依此为基础很容易理解并记忆平行四边形法则和三角形法则。

而向量的减法则可类比于数的减法定义：

在实数运算中，减法是加法的逆运算；

于是向量的减法也可以看成是向量加法的逆运算；

在实数运算中，减去一个数，等于加上这个数的相反数。

据此，复习相反向量的概念。

要注意向量运算与实数运算的差异，抓住“结果是什么？

”“遵循什么样的运算律？

”等问题，在类比和辨析中掌握知识。

逐渐渗透在集合上定义二元运算的准则．自然形成对于“逆运算”、“逆元”等概念的了解．最终拓展学生对于运算的认识．

例10设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为．若映射满足：

对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。

现有下列命题：

①设是平面上的线性变换，，则；

②若是平面上的单位向量，对，设，则是平面上的线性变换；

③对，设，则是平面上的线性变换；

④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有．

其中的真命题是．（写出所有真命题的编号）

3．重视几何特征，关注数形结合

在“平面向量”的复习教学中，数形结合是重要的思想方法之一，理解向量线性运算的几何意义更是本专题的教学目标之一，但学生往往不能做到恰当转化．数形结合的关键是把握基本量的代数形式与几何特征之间的联系，一方面复习中要时刻注意二者的联系和相互表达，学会“看图说话”，另一方面也可选择恰当的例题，对某些几何特征量进行归纳，逐渐学会“由数到形”．每种运算都要注意从几何和代数两个方面进行解读，两者并重。

但要真正掌握、运用这种思想方法，还需对数和形的实质加以挖掘．比如“向量的加法”复习中，可从“位移的合成”引入三角形法则，这是向量加法的几何法则，将其代数化，就得到：

。

代数化和形式化并不只是一种简洁的表示，还可挖掘其内在的含义：

如这个式子其实可以脱离图形而存在，进一步得到．

例11已知正三角形的边长为，平面内的动点满足

，，则的最大值是（　　）

A.B.C.D．

　设BC的中点为O，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B（－，0），C（，0），A（0,3）．又||＝1，∴点P的轨迹方程为x2＋（y－3）2＝1.由＝知点M为PC的中点，设M点的坐标为（x，y），相应点P的坐标为（x0，y0），

则∴∴（2x－）2＋（2y－3）2＝1，即，∴点M的轨迹是以H为圆心，r＝为半径的圆，∴|BH|＝，∴||的最大值为3＋r＝3＋＝，∴||2的最大值为.

4．重视方法训练，关注基底选择

通过本专题的复习，研究用向量处理问题的两种方法：

“向量法”和“坐标法”．也即面对一个实际问题，要学会选择基底或者建立平面直角坐标系．本质上这两种方法是统一的，其依据都是“平面向量基本定理”，后者是前者的特例．学生往往对于后者较为熟悉，在给定的坐标系中会处理问题，但不善于自己选择基底．事实上，这种熟悉，对于很多学生来说：

只是一种简单的模仿和运算，而对于平面向量基本定理并没有真正理解。

但课标对于平面向量基本定理的要求，只限于“了解”。

因此，若学生程度较好，可在正交基底的基础上，引导学生选择其它的基底解决问题，强化平面向量基本定理的教学．

例12中，为直角，，，与相交于点，设，，

（Ⅰ）试用表示向量；

（Ⅱ）在线段上取一点，在上取一点，使得过点，设，，求证：

．

解析1：

（Ⅰ）以为原点，如图建立平面直角坐标系,设，,

则，，设，则根据在直线上，也在直线上，根据斜率公式，可得：

，，

解之得：

，所以．

（Ⅱ）由题可得，，由三点共线，可证得．

解析2：

（Ⅰ）由三点共线可知，存在实数使得

；

由三点共线可知，存在实数使得

由平面向量基本定理知：

解之得，∴．

（Ⅱ）若设，，则，

又因为三点共线，所以．

例13如图，,点在由射线,线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动,且,则的取值范围是______；

当时,的取值范围是______.

如图，作交于．则

，

由点的位置不难知道．

因此，，也即的取值范围是

当时，，所以此时，的取值范围是．

5．强化问题意识，注重向量运用

学生的主要问题就是缺乏用向量解决问题的意识，学生处理问题的意识不是一朝一夕形成的，教师要在教学中积极引导学生自觉地思考、转化、构图和变式，让学生不断积累思维和活动经验，要加强教学过程中对学生思维、意识和能力的培养，注重过程强化，关注解题过程的思维达成度，培养学生的悟性。

例14设实数满足