高考文科数学第第19课解三角形考点突破与真题体验37页Word下载.docx

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又∵B∈（0°

，60°

），∴B＝30°

.故选A.

（2）（2016全国Ⅱ，5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝．

因为cosA＝，cosC＝，且A，C为三角形内角，所以sinA＝，sinC＝，所以sinB＝sin[π－（A＋C）]＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC＝.

由正弦定理＝，得b＝＝.

（3）（经典题，5分）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2asinB，则A＝（　A　）

　　　　　　　　　　　　B．45°

D.75°

因为在锐角三角形ABC中，b＝2asinB，所以由正弦定理，得sinB＝2sinAsinB，易知sinB≠0，所以sinA＝.又0°

<

A<

90°

，所以A＝30°

.

b．利用余弦定理解三角形

（4）（2018全国Ⅱ，5分）在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝（　A　）

A．4B.C.D．2

根据二倍角公式，可得cosC＝2cos2－1＝2×

2－1＝－.

根据余弦定理，可得

cosC＝＝＝－，

所以AB＝＝4.

故选A.

（5）（2018河南模拟，5分）在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，3absin2C＝a2＋b2－c2，则sin（π＋C）＝（　B　）

A．－　　　　　　　　　　　　B．－

C．－D.

根据余弦定理得＝cosC.

∵3absin2C＝6absinCcosC＝a2＋b2－c2，

∴3sinCcosC＝cosC.

∵△ABC为斜三角形，∴cosC≠0，

∴3sinC＝1，即sinC＝.

结合诱导公式得sin（π＋C）＝－sinC＝－.

故选B.

（6）（2016全国Ⅲ，5分）在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝（　C　）

A.　　　　　　　　　　　　B.

C．－D．－

（法一）如图，过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝BC，不妨设BC＝3，则AD＝BD＝1，DC＝2，所以AB＝＝，AC＝＝.

在△ABC中，由余弦定理的推论，得cos∠BAC＝＝＝－.故选C.

（法二）如图，过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝BC，则CD＝BC，

所以在Rt△ADC中，AC＝BC，

所以sin∠DAC＝，cos∠DAC＝.

又因为∠B＝，所以cos∠BAC＝cos＝cos∠DAC·

cos－sin∠DAC·

sin＝

×

－×

＝－.

故选C.

c．利用正、余弦定理解三角形

（7）（经典题，5分）在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC等于（　C　）

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·

BCcos∠ABC＝5,则AC＝.由正弦定理得＝，即＝，得sin∠BAC＝.故选C.

（8）（2018河北衡水模拟，5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝2∶3∶4，则＝（　B　）

A．1　　　　　B．2　　　　　C．－2　　　　　D.

不妨设a＝2，b＝3，c＝4，

∴cosC＝＝＝－，

∴＝＝＝＝2.

（9）（2018天津，13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acos.

（Ⅰ）求角B的大小；

答案：

解：

在△ABC中，由正弦定理＝，

可得bsinA＝asinB.

又由bsinA＝acos，

得asinB＝acos，

即sinB＝cos＝cosB＋sinB，

可得tanB＝.（4分）

又因为B∈（0，π），所以B＝.（5分）

（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A－B）的值．

在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝.（7分）

由bsinA＝acos，可得sinA＝.

因为a<

c，所以cosA＝.

因此sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝2cos2A－1＝.（11分）

所以sin（2A－B）＝sin2AcosB－cos2AsinB＝×

＝.（13分）

2．利用正、余弦定理判定三角形的形状

（10）（经典题，5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为（　B　）

A．锐角三角形　　　　　　　　　B．直角三角形

C．钝角三角形D．不确定

由bcosC＋ccosB＝asinA，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，即sin（B＋C）＝sin2A，即sinA＝sin2A.易知sinA≠0，所以sinA＝1，即A＝，所以△ABC为直角三角形．

（11）（经典题，5分）在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2≥，则△ABC的形状为__直角三角形或钝角三角形__．

不等式2cos2≥变形得cosA＋1≥＋1，

即cosA≥①.

由余弦定理得cosA＝，

代入①得≥，

整理得b2＋a2≤c2，

当b2＋a2＝c2时，△ABC为直角三角形；

当b2＋a2＜c2时，cosC＝＜0，

即角C为钝角，此时△ABC为钝角三角形．

综上，△ABC的形状为直角三角形或钝角三角形．

（经典题，5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则△ABC的形状为__等腰三角形或直角三角形__．

由正弦定理，得＝，

所以＝＝，

即＝，

易知sinA·

sinB≠0，

所以sinAcosA＝sinBcosB，所以sin2A＝sin2B.

又因为A，B∈（0，π），

所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．

3．三角形的面积问题

a．三角形面积的求法

（12）（经典题，5分）在△ABC中，A＝60°

，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于__2.

在△ABC中，A＝60°

，AC＝4，BC＝2，

由正弦定理得＝，

∴＝，解得sinB＝1，

∴B＝90°

∴AB＝＝2，

∴△ABC的面积为×

2×

2＝2.

（经典题，5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝1，2b－c＝2acosC，sinC＝，则△ABC的面积为（　C　）

A.　　　　　　　　　　　B.

C.或D.或

∵2b－c＝2acosC，

∴由正弦定理可得2sinB－sinC＝2sinAcosC，

即2sin（A＋C）－sinC＝2sinAcosC，

∴2sinAcosC＋2cosAsinC－sinC＝2sinAcosC，

∴2cosAsinC＝sinC.

易知sinC≠0，∴cosA＝，∴A＝30°

∵sinC＝，∴C＝60°

或120°

当C＝60°

时，B＝90°

，则c＝·

sinC＝，

∴△ABC的面积为ac＝×

1×

＝；

当C＝120°

时，B＝30°

，则b＝a＝1，

∴△ABC的面积为absinC＝×

（13）（2018北京西城一模，14分）在△ABC中，已知a·

sinC＝c·

sin2A.

（Ⅰ）求角A的大小；

因为a·

sin2A，

所以由正弦定理得sinA·

sinC＝sinC·

2sinAcosA，

易知sinC≠0，sinA≠0，

所以cosA＝.（4分）

因为0<

π，

所以A＝.（6分）

（Ⅱ）若a＝，b＝2，求△ABC的面积．

或

在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，

即（）2＝

（2）2＋c2－2×

2·

c·

整理得c2－6c＋5＝0，

解得c＝1或c＝5，均符合题意．（10分）

当c＝1时，△ABC的面积为S＝bcsinA＝；

当c＝5时，△ABC的面积为S＝bcsinA＝.（14分）

（14）（2017全国Ⅲ，12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2.

（Ⅰ）求c；

4

∵sinA＋cosA＝0，∴2sin＝0，

即A＋＝kπ（k∈Z），∴A＝－＋kπ（k∈Z）．

又A∈（0，π），∴A＝.（3分）

∵a＝2，b＝2，cosA＝－，a2＝b2＋c2－2bc·

cosA，

∴28＝4＋c2＋2c，∴c＝4（负值舍去）．（5分）

（Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

∵b＝2，a＝2，c＝4，

∴由余弦定理得cosC＝＝.

∵AC⊥AD，即△ACD为直角三角形，

∴AC＝CD·

cosC，∴CD＝.

由勾股定理得AD＝＝.（9分）

∵∠BAC＝，∴∠DAB＝－＝，

∴S△ABD＝AD·

AB·

sin＝.（12分）

b．三角形的面积与正、余弦定理的综合应用

（15）（2018全国Ⅰ，5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．

因为bsinC＋csinB＝4asinBsinC，

所以由正弦定理得

sinBsinC＋sinCsinB＝2sinBsinC＝4sinAsinBsinC.

又因为0<

A，B，C<

所以sinBsinC≠0，所以sinA＝.

因为b2＋c2－a2＝8，

所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，

得bc＝＝>

0，所以0<

又sinA＝，所以A＝，

所以S△ABC＝bcsinA＝2tanA＝.

（16）（2016浙江，14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.

（Ⅰ）证明：

A＝2B；

见证明过程

证明：

由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，

故2sinAcosB＝sinB＋sin（A＋B）＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，

于是sinB＝sinAcosB－cosAsinB＝sin（A－B）．（4分）

因为A，B∈（0，π），

所以0＜A－B＜π，

所以B＝π－（A－B）或B＝A－B，

因此A＝π（舍去）或A＝2B，

所以A＝2B.（7分）

（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．

由S＝，得absinC＝，

故有sinBsinC＝sinA＝sin2B＝sinBcosB，

又sinB≠0，所以sinC＝cosB．（9分）

又B，C∈（0，π），所以C＝±

B.

当B＋C＝时，A＝π－（B＋C）＝；

当C－B＝时，π－－＝，

∴A＝.

综上