一元二次方程解法大全Word文件下载.docx

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一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；

bx是一次项，b是一次项系数；

c是常数项．

2、把方程ax2+c＝0（a≠0），

这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

小结：

直接开平方法适用于

形式的一元二次方程的求解。

这里的x既可以是字母，单项式，也可以是含有未知数的多项式。

换言之：

只要经过变形可以转化为

形式的一元二次方程都可以用直接开平方法求解。

3、因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法

因式分解法：

是最简单的解一元二次方程的方法，但只适用于左边易分解而右边是零的一元二次方程．

即

，则

4、用配方法解一元二次方程

的一般步骤是：

（1）通过移项、两边同除以二次项的系数，将原方程变形为

的形式

（2）通过方程两边同加上“一次项系数一半的平方”，将方程

的左边配成一个关于x的完全平方式，方程化为

（3）当

时，再利用开平方法解方程；

当

，原方程无实数根。

1、判断下列方程是不是一元二次方程：

13x2-

y=0；

②

=1；

③2xy-7=0；

④3x=x2+4；

⑤

+5＝

；

⑥（a-1）x2-

x=6

明确一元二次方程必须具备三个条件：

①方程是一个整式方程；

②只含有一个未知数；

③含有未知数的项的最高次数是2．

2、把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再指出其二次项、一次项及常数项．

⑴5x2=3x；

⑵（

-1）x+x2-3=0；

⑶（7x-1）2-3=0；

⑷（

-1）（

+1）=0；

⑸（6m-5）（2m+1）=m2．

3、把方程x2-4x-6=0配方，化为（x+m）2=n的形式应为（）

（A）（x-4）2=6（B）（x-2）2=4（C）（x-2）2=10（D）（x-2）2=0

4、已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．

A．x2-8x+（-4）2=31B．x2-8x+（-4）2=1

C．x2+8x+42=1D．x2-4x+4=-11

5、填空：

①方程

x＝-3x2+5中二次项系数是，一次项系数是，常数项是．

②关于x的方程（m2-4）x2-（m-2）x-1=0，当m时是一元二次方程；

当m时是一元一次方程．

③把关于x的一元二次方程（m+1）x2-2m（1-x）+1=0化成一般形式是，二次项系数是，一次项系数是，常数项是．

④关于x的方程ax2-2m-3=x（2-x）是一元二次方程，则a的取值范围是

6、解下列方程：

（1）

（2）

（3）

．（4）10x2－x－3＝0；

1、下列关于x的方程是否为一元二次方程？

为什么？

若是一元二次方程，请分别指出二次项系数、一次项系数及常数项．

⑴ax2-4x+

=0（a≠0）；

⑵5x2=8px；

⑶（m+1）x2-6mx=3m+1；

⑷（k2+1）x2+kx-k=9．

2、方程（m2-3m＋2）x2＋（m-2）x＋7＝0，m为何值时①是一元二次方程；

②是一元一次方程．

3、x取什么数时，3x2+6x-8的值和2x2-1的值相等．

4、已知x是实数，求y=x2-4x+5的最小值．

运用配方法可为应用非负数的性质创造条件，解题中应注意掌握．

例1．解方程x2+x+1=

.

例2已知

＝a（a≠0），求

的值．

例3如果a2+b2-4a-2b+5=0，求

巩固练习

一、选择题：

1、下列关于x的方程中，一元二次方程的个数有（）

x2-

x＝0

=2x-1kx2-3x+=0x2-x2（x2+1）-3=0

A．0B．1C．2D．3

2、已知关于x的方程（k+3）x2-3kx+2k-1=0它一定是（）

A．一元二次方程B．一元一次方程

C．一元二次方程或一元一次方程D．无法确定

3、下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）

A．k（x2-1）=2x（x+1）B．（k2-2）x2-（3k+1）x-5=0

C．（k2+2）x2-（3k+1）x-5=0D．

=1

4、方程（x-1）（x+3）=12化为ax2+bx+c=0形式后，a、b、c的值为（）

A．1，-2，-15B．1，-2，-15

C．1，2，-15D．-1，2，-15

5、下列方程中是一元二次方程的有（）

⑴3x2=2x；

⑵y2-2x-8=0；

⑶

-x-1=0；

⑷2x（x-5）=x（3x+1）；

⑸

（x2+1）=

⑹

A．⑴⑸⑹B．⑴⑷⑸C．⑴⑶⑷D．⑵⑷⑸

6、若方程（m2-1）x2+x+m=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）

A．m≠0B．m≠1C．m≠1或m≠-1D．m≠1且m≠-1

7、一元二次方程（x－1）2=2的解（）

Ａ.x1=－1－

，x2=－1+

Ｂ.x1=1－

，x2=1+

Ｃ.x1=3，x2=－1Ｄ.x1=1，x2=－3

8、若方程

（b＞0）的根是（）

（A）、

（B）、

（C）、

（D）

9、已知

，则x+y的值（）

（A）-4或2（B）-2或4（C）2或-3（D）3或-2

10、已知方程

可以配方成

的形式，那么

可以配方成下列的（）

（A）

（B）

（C）

二、填空题

1、关于

的一元二次方程

的一般形式是.

2、关于x的方程（m-1）x2+x+m2+2m–3=0是一元二次方程的条件是__________.

3、若关于

的方程

是一元二次方程，则m的值

4、若

是完全平方式，则m的值=。

三、解下列方程：

⑴x2-10x+24=0；

⑵x2-8x+15=0；

（3）

（4）

（5）

四、已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，判定△ABC是正三角形．

五、用配方法证明：

多项式

的值总大于

方法总结：

①二次项的系数不为零（a≠0）是一元二次方程的一个重要条件，也是解答有关一元二次方程问题的一个隐藏条件；

②判断一个方程是不是一元二次方程，不能只看表面形式，要将方程化成一般形式，看它是否符合一元二次方程的三个条件；

③任何一个一元二次方程都可化为一般形式，而且，只有将方程化为一般形式之后，才能确定它的二次项系数、一次项系数和常数项．

自我测试

一、选择题

1．下列方程属于一元二次方程的是（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

2.若

的值等于（）

A．

B．

C．

D．

或

3.若分式

的值为零，则x的值为（）．

A．3B．3或－3C．0D．－3

4.若n是方程

的根，n≠0，则m+n等于（）

A．－7B．6C．1D．－1

5.方程（x–1）（2x+1）=2化成一般形式是，它的二次项系数是.

6.关于x的方程是（m2–1）x2+（m–1）x–2=0，那么当m时，方程为一元二次方程；

当m时，方程为一元一次方程.

7.方程

左边配成一个完全平方式，所得的方程是．

8.（中考题）方程

的解是（）

A、

B、

C、

D、

9.已知

二．用直接开平方法或因式分解法解方程：

（1）5x2-

=0

（2）（x+5）2=16

（6）

五、已知y=2x2+7x－1，当x为何值时，y的值与4x+1的值相等？

x为何值时，y的值与x2－19的值互为相反数？

六、求证：

不论a取何值，a2-a+1的值总是一个正数。

证明：

七、已知x2－xy－2y2＝0，且x≠0，y≠0，求代数式