高中数学选修44抛物线的参数方程Word下载.docx

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A．0　　　　B．1　　　　C.　　　　D．2

3．若曲线（t为参数）上异于原点的不同两点M1、M2所对应的参数分别是t1、t2，则弦M1M2所在直线的斜率是（　　）

A．t1＋t2B．t1－t2C.D.

4．在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的参数方程分别为l：

（s为参数）和C：

（t为参数），若l与C相交于A、B两点，则|AB|＝________．

5．连接原点O和抛物线x2＝2y上的动点M，延长OM到点P，使|OM|＝|MP|，求点P的轨迹方程，并说明它是何种曲线．

6．参数方程（θ为参数）表示的曲线为（　　）

7．曲线（t为参数）上两点A、B所对应的参数分别为t1、t2，且t1＋t2＝0，则|AB|为（　　）

A．|2p（t1－t2）|　　B．2p（t1－t2）C．2p（t＋t）D．2p（t1－t2）2

8．设曲线C的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．

9．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ＋sinθ）＝－2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为_______．

10．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|＝________．

11．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数），试求直线l与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．

12．已知抛物线y2＝2px（p＞0）过顶点的两弦OA⊥OB，求分别以OA、OB为直径的两圆的另一交点Q的轨迹．

13．过抛物线y2＝2px（p＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB（如下图）．

（1）设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标；

（2）求弦AB中点M的轨迹过程．

14．已知方程y2－2x－6ysinθ－9cos2θ＋8cosθ＋9＝0.

（1）证明：

不论θ为何值，该抛物线顶点的轨迹方程一定为椭圆；

（2）求抛物线在直线x＝14上截得的弦长的取值范围，并求弦取得最值时相应的θ值．

预习梳理

1．F　y＝－　F　y＝－

2．x轴正半轴

预习思考

（t为参数）

1．（1，0）

2.B

3.A

4.

　5．解析：

设抛物线x2＝2y的参数方程为（t为参数）．

∵点M在抛物线上，

∴M的坐标为（2t，2t2）．

设P的坐标为（x0，y0），由|OM|＝|MP|知，M为OP的中点，

∴消去参数t，得

y0＝x，即点P的轨迹方程是x2＝4y，表示的曲线为抛物线．

6．C

7.A

8.ρcos2θ－sinθ＝0

9．（2015·

广东卷Ⅱ，数学文14）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ＋sinθ）＝－2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为________．

9．解析：

曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝－2，曲线C2的普通方程为y2＝8x，由得：

，所以C1与C2交点的直角坐标为（2，－4）．

答案：

（2，－4）

10．16

11．解析：

∵直线l的参数方程为

∴消去参数t后得直线的普通方程为2x－y－2＝0.①

同理得曲线C的普通方程为y2＝2x.②

①②联立方程组解得它们公共点的坐标为（2，2），.

12．解析：

设A（2pt，2pt1），B（2pt，2pt2），则以OA为直径的圆的方程为x2＋y2－2ptx－2pt1y＝0，以OB为直径的圆的方程为x2＋y2－2ptx－2pt2y＝0，即t1、t2为方程2pxt2＋2pty－x2－y2＝0的两根．

∴t1t2＝－.又OA⊥OB，

∴t1t2＝－1，x2＋y2－2px＝0.

∴另一交点Q的轨迹是以（p，0）为圆心，p为半径的圆．

13．解析：

（1）由题意得

解得xA＝，yA＝.

以－代替上式中的k，可列方程组

得xB＝2pk2，yB＝－2pk.

∴A，B（2pk2，－2pk）．

（2）设M（x，y），则

消去参数k，得y2＝px－2p2，此即为点M轨迹的普通方程．

14．

（1）证明：

将原方法配方得（y－3sinθ）2＝2（x－4cosθ），曲线为抛物线，顶点为（4cosθ，3sinθ），设顶点为Q（x，y），则（θ为参数），消去θ得＋＝1，所以该抛物线顶点的轨迹为椭圆．

（2）解析：

将x＝14代入已知方程，得y2－6ysinθ－9cos2θ＋8cosθ－19＝0，得y＝3sinθ±

.因为－8≤8cosθ≤8，所以20≤28－8cosθ≤36.设抛物线在直线x＝14上截得的弦长为l，则l＝|y1－y2|＝2，所以4≤l≤12.当cosθ＝1时，即θ＝2kπ（k∈Z），lmin＝4；

当cosθ＝－1，即θ＝（2k＋1）π（k∈Z）时，lmax＝12.

1．已知抛物线的标准方程，可转化为参数方程，也可由参数方程转化为普通方程．

2．在利用参数方程求焦点坐标、准线方程时，应先判断抛物线的对称轴及开口方向，在方程的转化过程中要注意参数的范围限制．

3．抛物线的参数方程是一、二次函数形式，抛物线的图形分布和一、二次函数的值域相对应．

【习题2.2】

1．解析：

因为2a＝15565，2b＝15443，所以a＝7782.5，b＝7721.5.所求的椭圆参数方程为（φ为参数）．

2．证明：

设M（acosφ，bsinφ），P（xP，0），Q（xQ，0）．因为P，Q分别为B1M，B2M与x轴的交点，所以kB1P＝kB1M，kB2Q＝kB2M.由斜率公式并计算得xP＝，xQ＝，所以|OP|·

|OQ|＝|xP|·

|xQ|＝|xP·

xQ|＝a2（定值）．

3．证明：

设等轴双曲线的普通方程为x2－y2＝a2（a>

0），则它的参数方程为（φ为参数），设M是双曲线上任意一点，则点M到两渐近线y＝x及y＝－x的距离之积是·

＝＝（常数）．

4．证明：

设点A，B的坐标分别为（2pt，2pt1），（2pt，2pt2），则点C的坐标为（2pt，－2pt2）．直线AB的方程为y－2pt1＝（x－2pt），所以点D的坐标为（－2pt1t2，0）．直线AC的方程为y－2pt1＝（x－2pt），所以E的坐标为（2pt1t2，0）．因为DE的中点为原点O（0，0），所以抛物线的顶点O平分线段DE.

5．解析：

直线OA的方程为y＝kx，直线OB的方程为y＝－x.解方程组得点A的坐标是；

解方程组得点B的坐标是（2pk2，－2pk）．设点M的坐标为（x，y），则x＝＝＋pk2，y＝＝－pk，所以线段AB的中点M的轨迹的参数方程是（k为参数）．