数学模型与实验报告习题Word文档下载推荐.docx
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原料最多不可超过250吨，产品A不可超过100吨。
工作时间不可超过480小时
线性规划模型：
设在甲设备上加工的材料为x1吨，在乙设备上加工的原材料为x2吨，获利为z，由题意易得约束条件有：
Maxz=7200x1/5+6400x2/5
x1+x2≦250
12x1/5+8x2/5≦480
0≦3x1/5≦100,x2≧0
用LINGO求解得：
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X1100.0000.000000
X2150.0000.000000
ROWSLACKORSURPLUSDUAIPRICE
1336000.01.000000
20.000000960.0000
30.00000040.00000
440.000000.000000
做敏感性分析为：
VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLE
COFFINCREASEDECREASE
X11440.00480.000160.000
X21280.00160.000320.000
ROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLE
RHSINCREASEDECREASE
2250.00050.000033.3334
3480.00053.333280.0000
4100.000INFINITY40.0000
1、可见最优解为x1=100，x2=150，MAXz=336000。
因此最优解为在甲设备上用100吨原料生产A产品，在乙设备上用150吨原料生产B产品。
最大盈利为336000.
2、由运算结果看约束条件1（原料）的影子价格是960，即每增加1吨原料可收入960，小于1000元，因此不购入。
3、同理可得，每小时的影子价格是40元，因此聘用员工的工资不可超过每小时40元。
4、由敏感性分析可得，在最优解不变的前提下，x1予许的变化围上限是1920，下限是1280。
若每吨A获利增加到3000，价值系数变为1800，在允许围，所以保持原计划不变。
二、微分方程模型
在鱼塘中投放n0尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增加。
设尾数n（t）的（相对）减少率为常数;
由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本省成正比。
分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。
用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量表示，记作E，即单位时间捕获量是En（t）。
问如何选择T和E，使从T开始的捕获量最大。
基本假设：
1.鱼塘里的鱼无繁殖，且不会自然死亡。
2.鱼苗尾数相对减少率为常数。
3.由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与其表面积成正比；
由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与本身重量成正比。
4.将鱼简化为椭球体，且其密度分布均匀，初始状态相同。
符号表示
符号
符号说明
鱼塘初始时刻的鱼尾数
鱼塘每条鱼初始时刻的重量
鱼塘t时刻的鱼尾数
鱼塘每尾鱼t时刻的重量
尾数的相对减少率
重量增加率与表面积的比例
重量减少率与重量本身的比例
初始时刻每尾鱼的表面积
t时刻每尾鱼的表面积
捕捞能力
单位时间捕获量
捕获量最大的时刻
渔网网眼面积
椭球体的长半轴长
椭球体的宽半轴长
椭球体的高半轴长
鱼的体密度
标准正态分布函数
鱼群表面积的均值
鱼群表面积分布的方差
椭球体的体积
模型的建立：
由基本假设：
鱼苗尾数相对减少率为常数，则可得以下微分方程：
由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与其表面积成正比；
由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比。
可得以下微分方程：
又因为要通过设定渔网网格面积来确定最大捕获量，而渔网网格面积由每尾鱼的最小横截面相关，又每尾鱼的横截面面积与鱼的表面积相关。
由基本假设中鱼群的表面积服从正态分布，即：
其中为的均值，为的方差。
则在此条件下：
又由
得：
模型的求解：
关于鱼尾数随时间变化的微分方程组：
可直接求解得：
又椭球体的体积为：
表面积近似为：
又
则可得：
则将式代入式可得：
所以求解可得:
不妨设，则：
此时
则
由基本假设服从正态分布，则
其中为标准正态分布函数
则由此将渔网网眼面积和单位时间最大捕获量联系起来，此时仅需将通过调查将函数进行研究，进而使得取得最大值，则此时取得最大值
则可通过查找标准正态分布表求得结论。
三、统计回归模型
下表列出了某城市18位35岁—44岁经理的年平均收入千元，风险偏好度和人寿保险额千元，其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调查表综合评估得到的，它的数值越大，就越偏爱高风险。
研究人员想研究此年龄段中的经理所投保的人寿保险额与年平均收入及风险偏好度之间的关系。
研究者预计，经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握地认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应，但对风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。
请你通过表中的数据来建立一个合适的回归模型，验证上面看法，并给出进一步的分析。
序号
1
196
66.290
7
10
49
37.408
5
2
63
40.964
11
105
54.376
3
252
72.996
12
98
46.186
4
84
45.010
6
13
77
46.130
126
57.204
14
30.366
26.852
15
56
39.060
38.122
16
245
79.380
8
35.840
17
133
52.766
9
266
75.796
18
55.916
数学模型
解：
为大致分析y与x1和x2关系，首先利用表1的数据分别作出y对于x1和x2的散点图（见图1和图2中的圆点）
x1=[66.29040.96472.99645.01057.20426.85238.12235.84075.79637.40854.37646.18646.13030.36639.06079.38052.76655.916];
>
y1=[19663252841261449492664910598771456245133133];
p=polyfit（x1,y1,2）
p=
3.0246e-0021.7886e+000-6.0524e+001
x2=0:
0.01:
85;
y2=polyval（p,x2）;
plot（x1,y1,'
o'
x2,y2）
的散点图
从图中可以发现，随着的增加，的值有明显向上弯曲的二次增长趋势，图中的曲线是用二次函数模型
（1）
拟合的。
（其中是随机误差）
x3=[7510645469527435186];
q=polyfit（x3,y1,1）
q=
1.3522e+0013.8743e+001
x4=0:
15;
y3=polyval（q,x4）;
plot（x3,y1,'
x4,y3）
从图中可以发现，随着的增加，的值比较明显的线性增长趋势，图中的曲线是用线性函数模型
（2）
综合上面的分析，结合模型
（1）和
（2）建立如下的回归模型
（3）
（3）式右端的和称为回归变量，是给定年平均收入、风险偏好度时，人寿保险额的值，其中的参数称为回归系数。
还有影响的其它因素作用都包含在随机误差中。
模型求解：
使用MATLAB统计工具箱的命令regress求解，求解过程如下
x2=[7510645469527435186];
x3=x1.*x1;
x0=ones（18,1）;
x=[x0x1'
x2'
x3'
];
y=[19663252841261449492664910598771456245133133];
[b,bint,r,rint,stats]=regress（y'
x,0.05）
b=
-6.2349e+001
8.3959e-001
5.6846e+000
3.7082e-002
bint=
-7.3503e+001-5.1195e+001
3.9515e-0011.2840e+000
5.2604e+0006.1089e+000
3.3006e-0024.1157e-002
stats=
9.9958e-0011.1070e+0047.4095e-0243.2518e+000
由此得到模型（3）的回归系数估计值及其置信区间（置信水平）、检验统计量的结果见下表
参数
参数估计值
参数置信区间
-63.349
[-73.503-51.195]
0.83959
[0.395151.2840]
5.6846
[5.26046.1089]
0.037082
[0.0330060.041157]
=0.99958=11070=
结果分析：
=0.99958指因变量（保险额）的99.958%可由模型确定，的值远远超过的检验的临界值，远小于，因此模型（3）从整体来看是可用的。
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