三角函数高考题及练习题含答案文档格式.docx

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，所以φ＝.

4.若f（x）＝2sinωx（0<

ω<

1）在区间上的最大值是，则ω＝________．

由0≤x≤，得0≤ωx≤<

，则f（x）在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin＝，且0<

<

，所以＝，解得ω＝.

题型二三角函数定义及应用问题

例1设函数f（θ）＝sinθ＋cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π.

（1）若点P的坐标是，求f（θ）的值；

（2）若点P（x，y）为平面区域上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．

解：

（1）根据三角函数定义得sinθ＝，cosθ＝，∴f（θ）＝2.（本题也可以根据定义及角的范围得角θ＝，从而求出f（θ）＝2）．

（2）在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤，又f（θ）＝sinθ＋cosθ＝2sin，∴当θ＝0，f（θ）min＝1；

当θ＝，f（θ）max＝2.

（注：

注意条件，使用三角函数的定义，一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y＝Asin（ωx＋φ）的形式）

如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为、.求：

（1）tan（α＋β）的值；

（2）α＋2β的值．

由题意得cosα＝，cosβ＝，α、β∈，所以sinα＝＝，sinβ＝＝，

因此tanα＝7，tanβ＝.

（1）tan（α＋β）＝＝＝－3.

（2）tan（α＋2β）＝tan[（α＋β）＋β]＝＝－1.

又α＋2β∈，所以α＋2β＝.

题型二三角函数的图象与解析式问题

例2函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A、ω、φ是常数，A>

0，ω>

0）的部分图象如图所示．

（1）求f（0）的值；

（2）若0<

φ<

π，求函数f（x）在区间上的取值范围．

（1）由题图可知A＝，

∵＝－＝，∴ω＝2.又2×

＋φ＝2kπ＋，

∴φ＝2kπ＋（k∈Z），

∴f（0）＝sin＝.

（2）φ＝，f（x）＝sin.因为0≤x≤，所以≤2x＋≤π，所以0≤sin≤1，即f（x）的取值范围为[0，]．

本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题）

已知函数f（x）＝Asinωx＋Bcosωx（A、B、ω是常数，ω＞0）的最小正周期为2，并且当x＝时，f（x）max＝2.

（1）求f（x）的解析式；

（2）在闭区间上是否存在f（x）的对称轴？

如果存在，求出其对称轴方程；

如果不存在，请说明理由．

（1）因为f（x）＝sin（ωx＋φ），由它的最小正周期为2，知＝2，ω＝π.又当x＝时，f（x）max＝2，知π＋φ＝2kπ＋（k∈Z），即φ＝2kπ＋（k∈Z），所以f（x）＝2sin＝2sin（k∈Z）．

故f（x）的解析式为f（x）＝2sin.

（2）当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx＋＝kπ＋（k∈Z），解得x＝k＋（k∈Z），由≤k＋≤，解得≤k≤.又k∈Z，知k＝5，由此可知在闭区间上存在f（x）的对称轴，其方程为x＝.

题型三三角函数的性质与图象的移动问题

例3把函数f（x）＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x的图象沿x轴向左平移m个单位（m>

0），所得函数的图象关于直线x＝对称．

（1）求m的最小值；

（2）证明：

当x∈时，经过函数f（x）图象上任意两点的直线的斜率恒为负数；

（3）设x1，x2∈（0，π），x1≠x2，且f（x1）＝f（x2）＝1，求x1＋x2的值．

（1）解：

f（x）＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x＝－sin2x＋3·

＝cos2x－sin2x＋2＝cos＋2.

因为将f（x）的图象沿x轴向左平移m个单位（m>

0），得到g（x）＝＋2的图象，又g（x）的图象关于直线x＝对称，

所以2＋＝kπ，即m＝π（k∈Z）．

因为m>

0，所以m的最小值为.

因为x∈，所以－4π<

2x＋<

－，所以f（x）在上是减函数．所以当x1、x2∈，且x1<

x2时，都有f（x1）>

f（x2），从而经过任意两点（x1，f（x1））和（x2，f（x2））的直线的斜率k＝<

0.

（3）解：

令f（x）＝1，所以cos＝－.

因为x∈（0，π），所以2x＋∈.

所以2x＋＝或2x＋＝，即x＝或x＝.

因为x1、x2∈（0，π），x1≠x2，且f（x1）＝f（x2）＝1，所以x1＋x2＝＋＝

已知函数f（x）＝2sinωx，其中常数ω>

（1）若y＝f（x）在上单调递增，求ω的取值范围；

（2）令ω＝2，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a<

b）满足：

y＝g（x）在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值．

（1）因为ω>

0，根据题意有

0<

ω≤.

（2）f（x）＝2sin2x，g（x）＝2sin2＋1＝2sin＋1，g（x）＝0sin＝－x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z,即g（x）的零点相邻间隔依次为和，故若y＝g（x）在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×

＋15×

＝.

已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）－cos（ωx＋φ）（0<

π，ω>

0）为偶函数，且函数y＝f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为.

（1）求f的值；

（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g（x）的图象，求函数g（x）的单调递减区间．

（1）f（x）＝sin（ωx＋φ）－cos（ωx＋φ）＝2＝2sin.因为f（x）为偶函数，所以对x∈R，f（－x）＝f（x）恒成立，

因此sin＝sin，

即－sinωxcos＋cosωxsin＝sinωxcos（φ－）＋cosωxsin，

整理得sinωxcos＝0.因为ω＞0，且x∈R，

所以cos＝0.又0＜φ＜π，故φ－＝.

所以f（x）＝2sin＝2cosωx.由题意得＝2×

，所以ω＝2，故f（x）＝2cos2x，因此f＝2cos＝.

（2）将f（x）的图象向右平移个单位后，得到f的图象，所以g（x）＝f＝2cos＝2cos.当2kπ≤2x－≤2kπ＋π（k∈Z），即kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z）时，g（x）单调递减，因此g（x）的单调递减区间为（k∈Z）．

题型四三角函数图象及性质、三角公式综合运用

例4已知函数f（x）＝2sin2－cos2x－1，x∈R.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）若h（x）＝f（x＋t）的图象关于点对称，且t∈（0，π），求t的值；

（3）当x∈时，不等式|f（x）－m|<

3恒成立，求实数m的取值范围．

（1）因为f（x）＝－cos－cos2x＝2sin，故f（x）的最小正周期为π.

（2）h（x）＝2sin.令2×

＋2t－＝kπ（k∈Z），又t∈（0，π），故t＝或.

（3）当x∈时，2x－∈，

∴f（x）∈[1，2]．又|f（x）－m|＜3，即f（x）－3＜m＜f（x）＋3，

∴2－3＜m＜1＋3，即－1＜m＜4.

已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>

0，|φ|<

π），在同一周期内，当x＝时，f（x）取得最大值3；

当x＝π时，f（x）取得最小值－3.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）的单调递减区间；

（3）若x∈时，函数h（x）＝2f（x）＋1－m有两个零点，求实数m的取值范围．

（1）由题意，A＝3，T＝2＝π，ω＝＝2.

由2×

＋φ＝＋2kπ得φ＝＋2kπ，k∈Z.

又－π<

π，∴φ＝，∴f（x）＝3sin.

（2）由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，得＋2kπ≤2x≤＋2kπ，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

∴函数f（x）的单调递减区间为，k∈Z.

（3）由题意知，方程sin＝在上有两个根．

∵x∈，∴2x＋∈.

∴∈，∴m∈[1－3，7）．

1.（2013·

江西卷）设f（x）＝sin3x＋cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是________．

a≥2

f（x）＝sin3x＋cos3x＝2sin，|f（x）|≤2，所以a≥2.

2.（2013·

天津卷）函数f（x）＝sin在区间上的最小值是________．

－

3.（2013·

全国卷）函数y＝cos（2x＋φ）（－π≤φ<

π）的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则|φ|＝________．

4.（2014·

北京卷）设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A、ω、φ是常数，A>

0）．若f（x）在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f（x）的最小正周期为________．

π

由f（x）在区间上具有单调性，f＝－f知，函数f（x）的对称中心为，函数f（x）的对称轴为直线x＝＝，设函数f（x）的最小正周期为T，所以T≥－，即T≥，所以－＝，解得T＝π.

5.（2014·

福建卷）已知函数f（x）＝cosx（sinx＋cosx）－.

（1）若0<

α<

，且sinα＝，求f（α）的值；

（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

（解法1）

（1）因为0<

，sinα＝，所以cosα＝.

所以f（α）＝－＝.

（2）因为f（x）＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋－＝sin2x＋cos2x＝sin，所以T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z.

（解法2）f（x）＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋－＝sin2x＋cos2x＝sin.

（1）因为0<

，sinα＝，所以α＝.

从而f（α）＝sin＝sin＝.

（2）T＝＝π.

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z.

6.（2013·

北京卷）已知函数f（x）