高一同步对数与对数函数讲义-.docx
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年级：
高一辅导科目：
数学课时数：
3
课题
对数与对数函数
教学目的
1、理解对数的概念。
2、掌握对数的性质，并能准确的进行计算。
3、理解对数的换底公式并能灵活解题。
4、掌握对数函数的概念、图像和性质。
5、理解反函数的定义及应用。
教学内容
一、日校回顾
二、上节课知识点回顾
三、知识梳理
（一）、对数定义
一般地，如果的b次幂等于N,就是，那么数b叫做以a为底N的对数，
记作，a叫做对数的底数，N叫做真数
（二）对数的性质
（1）负数与零没有对数（∵在指数式中N>0）
（2）1的对数是零；，
（3）底数的对数是1；
（4）对数恒等式
注：
常用对数：
以10为底的对数叫做常用对数,N的常用对数简记作lgN
自然对数：
在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数简记作lnN
底数的取值范围；真数的取值范围
（三）、对数的运算法则
（四）、对数函数的定义：
函数叫做对数函数，定义域为，值域为．
1、函数的图象如图所示，
1
2
3
4
回答下列问题．
（1）说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么？
（2）函数与且有什么关系？
（3）图象之间又有什么特殊的关系？
（4）已知函数
的图象，则底数之间的关系：
．
2、对数函数的性质
由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．
a＞1
0＜a＜1
图
象
性
质
定义域：
（0，+∞）
值域：
R
过点（1，0），即当x=1时，y=0
时
时
时
时
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
四、例题讲解
例1、计算下列各题：
（1）；
（2）2（lg）2＋lg·lg5＋.
例2、求值：
.
例3、若函数y＝lg（3－4x＋x2）的定义域为M.当x∈M时，求f（x）＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x的值．
例4、已知f（x）＝loga（a>0，a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）求使f（x）>0的x的取值范围．
例5、若函数y＝lg（3－4x＋x2）的定义域为M.当x∈M时，求f（x）＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x的值．
例6、设a、b∈R，且a≠2，若奇函数f（x）＝lg在区间（－b，b）上有f（－x）＝－f（x）．
（1）求a的值；
（2）求b的取值范围；
（3）判断函数f（x）在区间（－b，b）上的单调性．
例7、函数f（x）是定义域为R的偶函数，且对任意的x∈R，均有f（x＋2）＝f（x）成立，当x∈[0,1]
时，f（x）＝loga（2－x）（a＞1）．
（1）当x∈[－1，－1]时，求f（x）的表达式；
（2）若f（x）的最大值为，解关于x∈[－1,1]的不等式f（x）＞.
例8、求下列函数的定义域、值域：
（1）
（2）
（3）（4）
例9、已知（）
（1）求f（x）的定义域
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）求使f（x）＞0的x的取值范围．
例10、求函数的单调区间，并用单调定义给予证明。
例11、求值.
例12、设a、b∈R，且a≠2，若奇函数f（x）＝lg在区间（－b，b）上有f（－x）＝－f（x）．
（1）求a的值；
（2）求b的取值范围；
（3）判断函数f（x）在区间（－b，b）上的单调性．
例13、函数f（x）是定义域为R的偶函数，且对任意的x∈R，均有f（x＋2）＝f（x）成立，当x∈[0,1]
时，f（x）＝loga（2－x）（a＞1）．
（1）当x∈[－1，－1]时，求f（x）的表达式；
（2）若f（x）的最大值为，解关于x∈[－1,1]的不等式f（x）＞.
【答案】
例1、解
（1）原式＝＝＝1.
（2）原式＝lg（2lg＋lg5）＋
＝lg（lg2＋lg5）＋|lg－1|
＝lg·lg（2×5）＋1－lg＝1.
例2、解：
解法一：
原式＝＝＝.
解法二：
原式＝＝＝.
例3、解 ∵y＝lg（3－4x＋x2），∴3－4x＋x2>0，
解得x<1或x>3，∴M＝{x|x<1，或x>3}，
f（x）＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×（2x）2.
令2x＝t，∵x<1或x>3，∴t>8或0∴f（t）＝4t－3t2＝－32＋（t>8或0由二次函数性质可知：
当0当t>8时，f（x）∈（－∞，－160），
当2x＝t＝，即x＝log2时，f（x）max＝.
综上可知：
当x＝log2时，f（x）取到最大值为，无最小值．
例4、解
（1）∵f（x）＝loga，需有>0，
即（1＋x）（1－x）>0，即（x＋1）（x－1）<0，
∴－1∴函数f（x）的定义域为（－1,1）．
（2）f（x）为奇函数，证明如下：
∵f（－x）＝loga＝loga－1＝－loga＝－f（x），∴f（x）为奇函数．
（3）loga>0（a>0，a≠1），
①当0则当00的x的取值范围为（－1,0）．
②当a>1时，可得>1，解得0即当a>1时，f（x）>0的x的取值范围为（0,1）．
综上，使f（x）>0的x的取值范围是：
a>1时，x∈（0,1）；0例5、解：
y＝lg（3－4x＋x2），∴3－4x＋x2＞0，
解得x＜1或x＞3，∴M＝{x|x＜1，或x＞3}，
f（x）＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×（2x）2.
令2x＝t，∵x＜1或x＞3，∴t＞8或0＜t＜2.
∴f（t）＝4t－3t2＝－32＋（t＞8或0＜t＜2）．
由二次函数性质可知：
当0＜t＜2时，f（t）∈，
当t＞8时，f（t）∈（－∞，－160），
当2x＝t＝，即x＝log2时，f（x）max＝.
综上可知：
当x＝log2时，f（x）取到最大值为，无最小值．
例6、解：
（1）f（－x）＝－f（x），即lg＝－lg，即＝，
整理得：
1－a2x2＝1－4x2，∴a＝±2，又a≠2，故a＝－2.
（2）f（x）＝lg的定义域是，∴0＜b≤.
（3）f（x）＝lg＝lg＝lg.
∴函数在定义域内是单调递减的．
例7、解：
（1）当x∈[－1,0]时，
f（x）＝f（－x）＝loga[2－（－x）]＝loga（2＋x），
所以f（x）＝.
（2）因为f（x）是以2为周期的周期函数，且为偶函数，所以f（x）的最大值就是当x∈[0,1]
时，f（x）的最大值．
因为a＞1，所以f（x）＝loga（2－x）在[0,1]上是减函数．
所以[f（x）]max＝f（0）＝loga2＝，
所以a＝4.
当x∈[－1,1]时f（x）＞得
或
得－2＜x＜2－.
例8、解
（1）：
要使函数有意义，必须：
即
值域：
∵∴从而
∴∴∴
（2）∵对一切实数都恒有∴函数定义域为R
从而即函数值域为
（3）函数有意义，必须：
由∴在此区间内
∴
从而即：
值域为
（4）要使函数有意义，必须：
①
②
由①：
由②：
当时必须
当时必须
综合①②得
当时∴
∴
例9、解：
（1）令得，
即（x+1）（x-1）＜0，
故f（x）的定义域为（-1，1）．
又因为f（x）的定义域关于原点对称，所以f（x）是奇函数．
例10、解：
定义域
单调区间是设则
=
∵∴
∴又底数
∴
∴在上是减函数。
例11、解：
解法一：
原式＝＝＝.
解法二：
原式＝＝＝.
例12、解：
（1）f（－x）＝－f（x），即lg＝－lg，即＝，
整理得：
1－a2x2＝1－4x2，∴a＝±2，又a≠2，故a＝－2.
（2）f（x）＝lg的定义域是，∴0＜b≤.
（3）f（x）＝lg＝lg＝lg.
∴函数在定义域内是单调递减的．
例13、解：
（1）当x∈[－1,0]时，
f（x）＝f（－x）＝loga[2－（－x）]＝loga（2＋x），
所以f（x）＝.
（2）因为f（x）是以2为周期的周期函数，且为偶函数，所以f（x）的最大值就是当x∈[0,1]
时，f（x）的最大值．
因为a＞1，所以f（x）＝loga（2－x）在[0,1]上是减函数．
所以[f（x）]max＝f（0）＝loga2＝，
所以a＝4.
当x∈[－1,1]时f（x）＞得
或
得－2＜x＜2－.
五、课堂练习
一、选择题
1．若3a=2,则log38-2log36用a的代数式可表示为（）
（A）a-2（B）3a-（1+a）2（C）5a-2（D）3a-a2
2.2loga（M-2N）=logaM+logaN,则的值为（）
（A）（B）4（C）1（D）4或1
3．已知x2+y2=1,x>0,y>0,且loga（1+x）=m,loga等于（）
（A）m+n（B）m-n（C）（m+n）（D）（m-n）
4.如果方程lg2x+（lg5+lg7）lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是（）
（A）lg5·lg7（B）lg35（C）35（D）
5.已知log7[log3（log2x）]=0，那么x等于（）
（A）（B）（C）（D）
6．函数y=lg（）的图像关于（）
（A）x轴对称（B）y轴对称（C）原点对称（D）直线y=x对称
7．函数y=log（2x-1）的定义域是（）
（A）（，1）（1，+）（B）（，1）（1，+）
（C）（，+）（D）（，+）
8．函数y=log（x2-6x+17）的值域是（）
（A）R（B）[8，+]（C）（-，-3）（D）[3，+]
9．函数y=log（2x2-3x+1）的递减区间为（）
（A）（1，+）（B）（-，］（C）（，+）（D）（-，］
10．函数y
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