高一数学暑期复习专题18等差、等比数列性质应用-副本.doc

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高一数学暑期复习专题18——等差、等比数列性质应用

【重难点讲解】

1．等差数列的定义：

－＝d（d为常数）．

2．等差数列的通项公式：

⑴an＝a1＋×d；⑵an＝am＋×d

3．等差数列的前n项和公式：

Sn＝＝．

4．等差中项：

如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b＝．

5．数列{an}是等差数列的两个充要条件是：

⑴数列{an}的通项公式可写成an＝pn＋q（p,q∈R）；⑵数列{an}的前n项和公式可写成Sn＝an2＋bn（a,b∈R）

6．等差数列{an}的两个重要性质：

⑴m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，则；⑵数列{an}的前n项和为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成数列

7．等比数列的定义：

＝q（q为不等于零的常数）．

8．等比数列的通项公式：

⑴an＝a1qn－1⑵an＝amqn－m

9．等比数列的前n项和公式：

Sn＝

10．等比中项：

如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2＝（或b＝）．

11．等比数列{an}的几个重要性质：

⑴m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则；⑵Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成数列；⑶若等比数列{an}的前n项和Sn满足{Sn}是等差数列，则{an}的公比q＝．

12．在等差数列中，求Sn的最大（小）值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正（负）值或0，而它后面的各项皆取负（正）值．

⑴a1>0，d<0时，解不等式组可解得Sn达到最值时n的值．

⑵a1<0，d>0时，解不等式组可解得Sn达到最小值时n的值．

【典型例题】

例1.在等差数列{an}中，

（1）已知a15＝10，a45＝90，求a60；

（2）已知S12＝84，S20＝460，求S28；（3）已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．

变式训练1.在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝．

例2.已知数列{an}满足a1＝2a，an＝2a－（n≥2）．其中a是不为0的常数，令bn＝．

⑴求证：

数列{bn}是等差数列；⑵求数列{an}的通项公式．

变式训练2.已知公比为3的等比数列与数列满足，且，

（1）判断是何种数列，并给出证明；

（2）若，求数列的前n项和

例3.已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{}前n项和。

求Tn．

变式训练3．两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比，则的值是（）

A．B．C．D．

例4.美国某公司给员工加工资有两个方案：

一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：

⑴从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？

⑵如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？

⑶如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元．问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？

变式训练4.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,

（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米?

（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?

例5.已知等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求项数n和公比q的值．

变式训练5.已知等比数列{an}中，a1·a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝．

例6.设等比数列{an}的公比为q（q>0），它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大项为27，求数列的第2n项．

变式训练6.已知等比数列{an}前n项和Sn＝2n－1，{an2}前n项和为Tn，求Tn的表达式．

例7.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

变式训练7.设是等差数列的前项和，，则等于（）

A.15B.16C.17D.18

例8.已知函数f（x）＝（x－1）2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列（q≠1），若a1＝f（d－1），a3＝f（d＋1），b1＝f（q－1），b3＝f（q＋1），

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）设数列{cn}对任意的自然数n均有：

，求数列{cn}前n项和Sn．

变式训练8.已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{bn}的第二项，第三项，第四项．⑴求数列{an}与{bn}的通项公式；⑵设数列{cn}对任意正整数n，均有，求c1＋c2＋c3＋…＋c2007的值．

例9.是否存在互不相等的三个实数a、b、c，使它们同时满足以下三个条件：

①a＋b＋c＝6；②a、b、c成等差数列；③将a、b、c适当排列后成等比数列．

变式训练9.若a、b、c成等差数列，b、c、d成等比数列，成等差数列，则a、c、e成（）

A．等差数列B．等比数列

C．既成等差数列又成等比数列D．以上答案都不是

例10.已知公差大于0的等差数列{}满足a2a4＋a4a6＋a6a2＝1，a2，a4，a8依次成等比数列，求数列{an}的通项公式an．

变式训练10.已知成等差数列，求证：

也成等差数列。

例11.已知△ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列．求证：

△ABC是等边三角形．

变式训练11.若互不相等的实数、、成等差数列，、、成等比数列，且，则=（）

A.4B.2C.-2D.-4

例12.数列{an}的前n项和Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn，n＝1，2，3……求：

⑴a2、a3、a4的值及{an}的通项公式；⑵a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值.

变式训练12.设数列的前项的和，求首项与通项。

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