北京市部分区届高三上学期考试数学理试题分类汇编数列Word版含答案文档格式.docx
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，公差不为零，且
恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于
．
8、（通州区2017届高三上学期期末）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若
9、（西城区2017届高三上学期期末）设等比数列
的各项均为正数，其前
____；
____．
二、解答题
1、（朝阳区2017届高三上学期期末）设
是正整数，数列
，其中
是集合
中互不相同的元素．若数列
满足：
只要存在
使
，总存在
有
，则称数列
是“好数列”．
（Ⅰ）当
时，
（ⅰ）若数列
是一个“好数列”，试写出
的值，并判断数列：
是否是一个“好数列”？
（ⅱ）若数列
是“好数列”，且
，求
共有多少种不同的取值？
（Ⅱ）若数列
是偶数，证明：
2、（朝阳区2017届高三上学期期中）已知数列
是公差不为0的等差数列，
，且
成等比数列.
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）设数列
，求证:
.
3、（朝阳区2017届高三上学期期中）设
是正奇数，数列
）定义如下：
，对任意
是
的最大奇约数．数列
中的所有项构成集合
（Ⅰ）若
，写出集合
；
（Ⅱ）对
，令
表示
中的较大值），求证：
（Ⅲ）证明集合
是有限集，并写出集合
中的最小数．
4、（东城区2017届高三上学期期末）已知
是等比数列，满足
，数列
是首项为
，公差为
的等差数列．
（Ⅰ）求数列
和
（Ⅱ）求数列
项和．
5、（海淀区2017届高三上学期期末）对于无穷数列
，若
，则称
的“收缩数列”．其中，
分别表示
中的最大数和最小数．
已知
为无穷数列，其前
的“收缩数列”．
项和；
（Ⅱ）证明：
的“收缩数列”仍是
（Ⅲ）若
，求所有满足该条件的
6、（丰台区2017届高三上学期期末）已知无穷数列
满足
（Ⅰ）若
，写出数列
的前4项；
（Ⅱ）对于任意
，是否存在实数M，使数列
中的所有项均不大于M？
若存在，求M的最小值；
若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）当
为有理数，且
时，若数列
自某项后是周期数列，写出
的最大值.（直接写出结果，无需证明）
7、（海淀区2017届高三上学期期中）已知数列
是公差为2的等差数列，数列
（Ⅱ）求
取得最小值时
的值.
8、（海淀区2017届高三上学期期中）已知数列
是无穷数列，满足
）.
的值；
（Ⅱ）求证：
“数列
中存在
使得
”是“数列
中有无数多项是1”的充要条件；
（Ⅲ）求证：
在数列
中
使得
.
9、（通州区2017届高三上学期期末）已知数列
对任意的
为“T数列”.
（Ⅰ）求证：
是“T数列”；
（Ⅱ）若
，试判断数列
是否是“T数列”，并说明理由；
（Ⅲ）若数列
是各项均为正的“T数列”，
求证：
10、（西城区2017届高三上学期期末）数字
的任意一个排列记作
，设
为所有这样的排列构成的集合．
集合
任意整数
，都有
（Ⅰ）用列举法表示集合
（Ⅱ）求集合
的元素个数；
（Ⅲ）记集合
的元素个数为
．证明：
是等比数列．
参考答案
1、62 2、
3、
4、B 5、D 6、24
7、4 8、36 9、
1、解：
（Ⅰ）（ⅰ）
，或
数列：
也是一个“好数列”．…………………………………3分
（ⅱ）由（ⅰ）可知，数列必含
两项，
若剩下两项从
中任取，则都符合条件，有
种；
中任取一个，则另一项必对应
中的一个，
若取
，“好数列”必超过
项，不符合；
，另一项可从
中任取一个，有
，符合条件，
，则易知“好数列”必超过
综上，
共有66种不同的取值．………………………………………7分
由（Ⅰ）易知，一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列”．
又“好数列”
各项互不相同，所以，不妨设
把数列配对：
只要证明每一对和数都不小于
即可．
用反证法，假设存在
，使
因为数列单调递增，所以
又因为“好数列”，故存在
，使得
显然
，故
，所以
只有
个不同取值，而
个不同取值，矛盾．
所以，
每一对和数都不小于
故
，即
．…………………13分
2、解：
（Ⅰ）设
的公差为
因为
成等比数列，所以
．
即
．
化简得
又
，解得
所以有
．…………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
所以
因此，
．…………………13分
3、解：
（Ⅰ）数列
为：
9，15，3，9，3，3，3，……．
故集合
．……………3分
由题设，对
都是奇数，所以
是偶数．
从而
的最大奇约数
，
，当且仅当
时等号成立．
所以，对
且
时等号成立．………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当
时，有
所以对
，有
又
是正奇数，且不超过
的正奇数是有限的，
所以数列
中的不同项是有限的．
所以集合
是有限集．
中的最小数是
的最大公约数．……………14分
4、解：
（Ⅰ）设等比数列
的公比为
由题意，得
．……………3分
又数列
的等差数列，
．……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
．……………9分
．……………12分
所以，数列
． ………13分
5、解：
（Ⅰ）由
可得
为递增数列，
.-
（Ⅱ）因为
又因为
（Ⅲ）由
当
（*），
若
，所以由（*）可得
，与
矛盾；
同号，这与
，由（*）可得
猜想：
的数列
是：
经验证，左式=
右式=
下面证明其它数列都不满足（Ⅲ）的题设条件.
法1：
由上述
时的情况可知，
是成立的.
假设
是首次不符合
的项，则
由题设条件可得
，则由（*）式化简可得
与
，所以由（*）化简可得
这与假设
矛盾.
所以不存在数列不满足
的
符合题设条件.
法2：
即
由
，所以可得
等号成立的条件是
所以，所有满足该条件的数列
为
（说明：
各题的其他做法，可对着参考答案的评分标准相应给分）
6、解：
（Ⅰ）
……………….4分
（Ⅱ）存在满足题意的实数
且
的最小值为1.
解法一：
猜想
，下面用数学归纳法进行证明.
（1）当
时,
，结论成立.
（2）假设当
时结论成立，即
当
所以
所以
故
又因为
所以
时结论也成立.
综上,由
（1）,
（2）知,
成立
当
时,可得当
时,
此时,
的最小值为1
的最小值为1.
解法二：
时，若存在
且
显然
的最小值为1.……………………10分
（Ⅲ）
………………13分
7、详细分析：
（I）
（II）
8、详细分析：
（III）
9、解：
……………….3分
（Ⅱ）
解得，
，故数列
不是T数列.……………….7分
（Ⅲ）要证
只需证
……………….8分
下面运用数学归纳法证明。
（ⅰ）当n=1时，
成立…………….9分
（ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，
那么当n=k+1时，
是T数列，
将上述式子相加，得
所以当n=k+1时不等式成立，
根据（ⅰ）和（ⅱ）可知，
对于任意
不等式
均成立.
……………….14分
10、解：
．[3分]
（Ⅱ）考虑集合
中的元素
由已知，对任意整数
的任意性可知，
的单调递增排列，
．[5分]
又因为当
时，对任意整数
都有
．[7分]
所以集合
的元素个数为1．[8分]
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
时，考虑
（1）假设
．由已知，
依此类推
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