18版高中数学第二章解析几何初步疑难规律方法学案北师大版必修2Word下载.docx

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（2）所有的直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是90°

时，直线的斜率不存在，但并不是说该直线不存在，而此时直线垂直于x轴.

（3）斜率和倾斜角都是反映直线相对于x轴正向的倾斜程度的，通常情况下求斜率比求倾斜角方便.

（4）当x1＝x2，y1≠y2时直线没有斜率.

3.两条直线平行的判定

对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.

解读　

（1）利用上述公式判定两条直线平行的前提条件有两个：

一是两条直线不重合，二是两条直线的斜率都存在.

（2）当两条直线的斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°

，此时也有l1∥l2.

4.两条直线垂直的判定

如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；

反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·

k2＝－1.

解读　

（1）利用上述公式判定两条直线垂直的前提条件是两条直线都有斜率.

（2）两条直线中，若一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则这两条直线也垂直.

2　直线斜率的三种求法

直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个量，是确定直线方程的重要因素，还能为以后直线与直线位置关系及直线与圆位置关系的进一步学习打好基础.

一、根据倾斜角求斜率

例1　如图，菱形ABCD的∠ADC＝120°

，求两条对角线AC与BD所在直线的斜率.

分析　由于题目背景是几何图形，因此可根据菱形的边角关系先确定AC与BD的倾斜角，再利用公式k＝tanθ.

解　∵在菱形ABCD中，∠ADC＝120°

，

∴∠BAD＝60°

，∠ABC＝120°

又菱形的对角线互相平分，∴∠BAC＝30°

，∠DBA＝60°

∴∠DBx＝180°

－∠DBA＝120°

∴kAC＝tan30°

＝，kBD＝tan120°

＝－.

评注　本题解答的关键是根据几何图形中直线与其他直线的位置关系（如平行、垂直、两直线的夹角关系等），确定出所求直线的倾斜角，进而确定直线的斜率.

二、利用两点斜率公式

例2　直线l沿y轴正方向平移3个单位，再沿x轴的负方向平移4个单位，恰好与原直线l重合，求直线l的斜率k.

分析　由于直线是由点构成的，因此直线的平移变化可以通过点的平移来体现.因此，本题可以采取在直线上取一点P，经过相应的平移后得到一个新点Q，它也在直线上，则直线l的斜率即为PQ的斜率.

解　设P（x，y）是直线l上任意一点，按平移后，P点的坐标移动到Q（x－4，y＋3）.∵Q点也在直线l上，∴k＝＝－.

评注　①本题解法利用点的移动去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用，同时要注意：

点（x，y）沿x轴正方向平移a个单位，再沿y轴正方向移动b个单位，坐标由（x，y）变为（x＋a，y＋b）.②直线过两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＝x2，y1≠y2，则倾斜角等于90°

，不能利用两点坐标的斜率公式，此时，斜率不存在.

三、利用待定系数法

例3　如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线l的斜率.

分析　本题可以利用例2的解法进行求解，即考虑抓住点的变化求解.除此之外，还可以考虑直线l的方程的变化，利用待定系数法，通过比较系数可得结果.

解　设直线l的方程为y＝kx＋b.

把直线左移3个单位，上移1个单位后直线方程为

y－1＝k（x＋3）＋b，即y＝kx＋3k＋b＋1.

由条件，知y＝kx＋3k＋b＋1与y＝kx＋b为同一条直线的方程.

比较系数，得b＝3k＋b＋1，解得k＝－.

评注　本题通过利用平移前与平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果.

3　直线方程形式的相互转化

直线方程的五种形式之间密切相关，可以进行相互转化.

一、一般式方程转化为斜截式方程

例1　已知直线方程为3x＋4y－6＝0，求此直线的斜率与此直线在y轴上的截距.

分析　只需把已知直线的一般式方程转化为直线的斜截式方程，根据直线的斜截式方程可以直接判断出对应直线的斜率与在y轴上的截距.

解　由3x＋4y－6＝0，可得4y＝－3x＋6，

即y＝－x＋.根据直线的斜截式方程，

可以得出此直线的斜率为－，此直线在y轴上的截距为.

评注　在直线的斜截式方程y＝kx＋b中，非常直观地表示了该直线对应的斜率为k，该直线在y轴上的截距为b.

二、一般式方程转化为截距式方程

例2　求直线ax＋by－1＝0（a≠0，b≠0）与两坐标轴所围成的三角形的面积.

分析　只需把已知直线的一般式方程转化为直线的截距式方程，根据直线的截距式方程可以直接判断出对应直线在相应坐标轴上的截距，再求解对应的三角形面积.

解　由直线ax＋by－1＝0（a≠0，b≠0），可得＋＝1.

根据直线的截距式方程，可以得出此直线在x轴，y轴上的截距分别为，.

所以对应的三角形面积为S＝·

||·

||＝.

评注　在直线的截距式方程＋＝1（a≠0，b≠0）中，方程的左侧为两个分式的和，右侧为常数1，其中的a，b分别为直线在x轴，y轴上的截距.要正确理解截距的定义，但要注意在x轴，y轴上的截距分别表示的是直线与x轴，y轴交点的横、纵坐标.

三、斜截式方程转化为点斜式方程

例3　直线y＝mx－3m＋2（m∈R）必过的定点为__________________________________.

分析　只需把已知直线的斜截式方程转化为直线的点斜式方程，根据直线的点斜式方程可以直接判断出对应直线所过的定点.

解析　由y＝mx－3m＋2，可得y＝m（x－3）＋2，即y－2＝m（x－3），根据直线的点斜式方程，可以得出此直线必过的定点为（3,2）.

答案　（3,2）

评注　在直线的点斜式方程y－y0＝k（x－x0）中，表示恒过定点（x0，y0）的一系列直线.在解答此类问题时，也可

以通过参数的两个不同取值，通过求解两特殊直线的交点来达到确定定点的目的.

四、一般式方程转化为点斜式方程

例4　已知直线l的方程为（k＋1）x－（k－1）y－2k＝0，求证：

无论k取何实数时，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标.

分析　只需把已知直线的一般式方程转化为直线的点斜式方程，即可判断出对应的定点.

证明　由直线l的方程（k＋1）x－（k－1）y－2k＝0，

可得（k＋1）x＝（k－1）y＋2k，则（k＋1）x－k＝（k－1）y＋k，

亦即（k＋1）x－（k＋1）＝（k－1）y＋（k－1）.

当k≠1时，y＋1＝（x－1），根据直线的点斜式方程可得直线l必过定点（1，－1）；

当k＝1时，直线l的方程为x＝1，亦必过定点（1，－1）.

综上所述，无论k取何实数时，直线l必过定点（1，－1）.

评注　在解答有关直线过定点的问题中，经常利用直线的点斜式方程来解决.

直线方程的五种表达式都有着各自的长处和不足，在求解有关的直线方程时，一定要注意各自方程形式的局限之处.

4　直线方程中的“缺陷”

一、斜截式中斜率“缺陷”

例1　已知直线方程为3x＋my－6＝0，求此直线的斜率与此直线在y轴上的截距.

错解　由3x＋my－6＝0，得my＝－3x＋6，即直线的斜截式方程为y＝－x＋，得出此直线的斜率为－，在y轴上的截距为.

剖析　忘记讨论当m＝0时，直线的斜率并不存在.

正解　当m＝0时，直线可化为x＝2，此时直线的斜率不存在，在y轴上的截距也不存在；

当m≠0时，可得my＝－3x＋6，即直线的斜截式方程为y＝－x＋，得出此直线的斜率为－，在y轴上的截距为.

评注　在直线的斜截式方程y＝kx＋b中，非常直观地表示了该直线的斜率为k，在y轴上的截距为b.研究直线的斜率与在y轴上的截距问题，需要将一般式方程转化为直线的斜截式方程来处理.但要注意当y的系数含有参数时要分系数为0和系数不为0两种情况进行讨论.

二、两点式中分式“缺陷”

例2　已知直线l过点A（1,2），B（a,3），求直线l的方程.

错解　由两点式，得直线l的方程为＝.

剖析　忽视了a＝1，即直线与x轴垂直的情况，若a＝1，则＝不成立.

正解　当a＝1时，直线l的方程为x＝1；

当a≠1时，直线l的方程为＝.

综上所述，知直线l的方程为x－（a－1）（y－2）－1＝0.

评注　一般地，过P（x1，y1），Q（x2，y2）两点的直线方程，不能写成＝，而应写成（x2－x1）（y－y1）－（y2－y1）（x－x1）＝0.

三、截距式中截距“缺陷”

例3　求过点（2,4）且在坐标轴上的截距之和为0的直线方程.

错解　设直线的方程为＋＝1.

因为直线过点（2,4），所以＋＝1，解得a＝－2.

故所求的直线方程为＋＝1，即x－y＋2＝0.

剖析　直线的截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形，本题由截距式求解时没有考虑截距为0的情形，导致漏解.

正解　当直线的截距均不为0时，同错解；

当直线的截距均为0时，直线过原点，

此时直线的斜率为k＝2，

直线的方程为y＝2x，即2x－y＝0.

故所求的直线方程为2x－y＝0或x－y＋2＝0.

评注　事实上，当题中出现“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m（m>

0）倍”等条件时，若采用截距式求直线方程，都要考虑“截距为0”的情况.

四、一般式中系数“缺陷”

例4　如果直线（m－1）x＋（m2－4m＋3）y－（m－1）＝0的斜率不存在，求m的值.

错解　因为直线的斜率不存在，

所以m2－4m＋3＝0.

解得m＝3或m＝1.

所以当m＝3或m＝1时，直线的斜率不存在.

剖析　由于方程Ax＋By＋C＝0表示直线，本身隐含着（A，B不同时为0）这一条件.当m＝1时，方程（m－1）x＋（m2－4m＋3）y－（m－1）＝0即为0·

x＋0·

y－0＝0，它不表示直线，应舍去.

正解　因为直线的斜率不存在，

所以m2－4m＋3＝0，且m－1≠0，解得m＝3.

所以当m＝3时，直线的斜率不存在.

评注　方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）才叫作直线的一般式方程，才表示一条直线.

5　突破两条直线的位置关系

在平面直角坐标系内不同的两条直线有相交和平行两种位置关系，其中垂直是相交的特殊情况，要想很好地掌握两条直线的位置关系，只需把握以下三种题型.下面举例说明.

题型一　根据直线平行、垂直求参数值的问题

给出两直线的方程（方程的系数中含有参数），利用直线平行或垂直的判定或性质求解参数的取值.

例1　已知直线l1：

x＋my＋6＝0，l2：

（m－2）x＋3y＋2m＝0.试求m为何值时，l1与l2：

（1）平行？