最新高等数学上册期末考试试题含答案CWord文档格式.docx

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函数f（x）在x≠2k+1，k=0,±

1,±

2处连续.

故f（x）的傅里叶级数的复数形式为

（x≠2k+1，k=0,±

2,…）

3．写出函数的傅里叶级数的和函数．

f（x）满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于f（x），在间断点x=0，x=±

π处，分别收敛于，，，综上所述和函数．

4．将函数展开成x的幂级数．

由于

所以（|x|≤1）

5．

（1）解：

相当于级数中

当时收敛，时，发散.

从而当时，收敛，时，发散.

从而的收敛域为

从而的收敛域为.

（2）解：

当时，收敛，则收敛.

当时，发散，

当时，收敛.（莱布尼兹型级数）

6．若存在，证明：

级数收敛．

证：

∵存在，∴∃M>

0，使|n2Un|≤M，

即n2|Un|≤M，|Un|≤

而收敛，故绝对收敛．

7．设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x（百台）的边际成本为C′（x）（万元/百台），边际收入为R′（x）=7－2x（万元/百台）．

（1）求生产量为多少时总利润最大？

（2）在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？

（1）当C′（x）=R′（x）时总利润最大．

即2=7－2x，x=5/2（百台）

（2）L′（x）=R′（x）－C′（x）=5－2x．

在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为

ΔL（x）=．

即此时总利润减少1万元.

8．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力．

如图20，建立坐标系，直线AB的方程为

．

压力元素为

所求压力为

（20）

=1467（吨）=14388（KN）

9．计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图17.

（17）

以底面上的固定直径所在直线为x轴，过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：

x2+y2=R2．

过区间[R，R]上任意一点x，且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x对应的圆周上的点为（x，y），则该等边三角形的边长为2y，故其面积等于

从而该立体的体积为

10．求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：

（1）r=a（1+cosθ）及r=2acosθ;

由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a的圆，故D=πa2．

（11）

（2）及．

如图12，解方程组

得cosθ=0或,

即或．

（12）

11．证明：

无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2.

如果，那么对于（使）,存在x0，当时

即

成立，显然与同进收敛或发散.

如果，则有,显然收敛,则亦收敛.

如果，则有，显然发散，则亦发散.

习题五

12．用定义判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：

;

原式=

（n为正整数）

.

13．计算下列积分（n为正整数）：

（1）

令,,

当x=0时t=0，当x=1时t=,

由第四章第五节例8知

（2）

由递推公式

可得

14．求如图所示的三角形脉冲函数的频谱函数.

15．用定积分的几何意义求下列积分值:

；

解:

由几何意义可知,该定积分的值等于由x轴、直线x=1、y=2x所围成的三角形的面积，故原式=1.

由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为R的圆在第一象限内的面积，故原式=.

16．没,求

17．验证：

拉格朗日定理对函数在区间[0，1]上的正确性.

验证：

因为在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，满足拉格朗日定理的条件.

由得

解得，即存在使得拉格朗日定理的结论成立.

18．国民收入的年增长率为7.1%，若人口的增长率为1.2%，则人均收入年增长率为多少？

人均收入年增长率=国民收入的年增长率－人口增长率=7.1%－1.2%=5.9%.

习题三

19．计算曲线y=coshx上点（0，1）处的曲率.

当x=0时，，

故

20．计算的近似值，使误差不超过.

21．求函数在处的阶泰勒公式.

22．设可导，求下列函数y的导数：

⑴

⑵

23．求下列函数在给定点处的导数：

⑴求；

⑵求和；

⑶求.

故

24．已知，求.

当时，,

故不存在.

又

综上所述知

25．已知求.

当时，

当时，

26．下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使它连续：

是函数的可去间断点.因为函数在x=1处无定义，若补充定义，则函数在x=1处连续；

x=2是无穷间断点.

当时，.

为可去间断点，分别补充定义f（0）=1,，可使函数在x=0,及处连续.（）;

为无穷间断点

（3）∵当时，呈振荡无极限，

∴x=0是函数的振荡间断点.（第二类间断点）.

（4）

∴x=1是函数的跳跃间断点.（第一类间断点.）

27．利用或等价无穷小量求下列极限：

（1）因为当时，

所以

（4）因为当时，,所以

（5）因为当时，所以

（7）因为当时，,所以

（8）因为当时，所以

（9）因为当时，,所以

（10）因为当时，，所以

（11）因为当时，所以

（12）因为当时，所以

（13）因为

而当时，

又当x→0进，所以

（14）因为当时，

28．下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?

（1）是由复合而成.

（2）是由复合而成.

（3）是由复合而成.

（4）是由复合而成.

29．已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角=40°

如图所示.当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周L（L=AB+BC+CD）与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域.

图1-1

从而.

由得定义域为.

30．求下列不定积分：

原式

故原式=.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

1．无

2．无

3．无

4．无

5．无

6．无

7．无

8．无

9．无

10．无

11．无

12．无

13．无

14．无

15．无

16．无

17．无

18．无

19．无

20．无

21．无

22．无

23．无

24．无

25．无

26．无

27．无

28．无

29．无

30．无