11 分类加法计数原理与分步乘法计数原理教师版Word格式.docx
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【答案】B
【解析】设四位监考教师分别为A㴳B㴳C㴳翿，所教班分别为a㴳b㴳c㴳d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理，共有3＋3
＋3＝9（种）不同的监考方法，故选B．
x2y2
【例1-2】设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程
A．6个B．8个
C．12个D．16个
【答案】A
＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆的有（）
mn
【解析】因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>
n.当m＝4时，n＝1,2,3；
当m＝3时，n＝1,2；
当m＝2时，
n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6（个）．
【举一反三】
1．（2020·
重庆高二月考（理））小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有（）
A．7种B．8种C．6种D．9种
【答案】A
【解析】要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”，分三类完成：
买1张IC卡，买2张IC卡，买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，即买一张20元面值的或买一张30元面值的；
买2张IC卡有3种方法，即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20
元面值的和30元面值的各买一张，买3张IC卡有2种方法，即买两张20元面值的和一张30元面值的或3张20元面值的，故共有2＋3＋2＝7（种）不同的买法．
2．（2020·
全国高三专题练习）从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为
（）
A．6B．5C．3D．2
【解析】选女同学有3种选法，选男同学有2种选法，所以共有5种选法.故选：
B.
3．（2020·
全国高三专题练习）从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有种不同的方法.
【答案】12
【解析】
（1）分三类：
一类是乘汽车有8种方法；
一类是乘火车有2种方法；
一类是乘飞机有2种方法，由分类加法计数原理知，共有8＋2＋2＝12（种）方法.故答案为：
12.
题型二分步乘法计数原理
【例2-1】
（2019·
辽宁实验中学高三月考（理））高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）
A．16种B．18种C．37种D．48种
【答案】C
【解析】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有4×
4×
4th4种情况，其中工厂
甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有3×
3×
3th7种方案；
则符合条件的有h4—h7t37种，故选：
C．
【例2-2】
全国高三专题练习）如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（）
A．72种B．48种C．24种D．12种
【解析】先涂A的话，有4种选择，若选择了一种，则B有3种，而为了让C与AB都不一样，则C有2种，再涂D的话，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4x3x2x3=72种，故选A。
1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为（）
A．7B．12C．64D．81
【答案】B
【解析】要完成配套，分两步：
第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；
第2步，
选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法．故共有4×
3＝12（种）不同的配法．
2．已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2}，r∈{1,4,9,16}，则方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2可表示的不同圆的个数是（）
A．6B．9C．16D．24
【答案】D
【解析】确定一个圆的方程可分为三个步骤：
第一步，确定a，有3种选法；
第二步，确定b，有2种选法；
第三步，确定r，有4种选法．由分步乘法计数原理得，不同圆的个数为3×
2×
4＝24.
3．某运动会上，8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的
奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有种．
【答案】2880
【解析】分两步安排这8名运动员．
第一步，安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，所以共有4×
3×
2＝24（种）方法；
第二步，安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，共有5×
4×
1＝120（种）．所以安排这8人的方式共有24×
120＝2880（种）．
题型三两个原理的综合运用
【例3-1】用0,1,2,3,4五个数字，
（1）可以排成多少个三位数字的电话号码？
（2）可以排成多少个三位数？
（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
【答案】见解析
（1）三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×
5×
5＝53＝125（种）．
（2）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位
可以排0，因此，共有4×
5＝100（种）．
（3）被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×
3＝12（种）排法；
一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×
3＝18（种）排法．因而有12＋18＝30（种）排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．
【例3-2】
（1）将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有种.
【答案】42
【解析】分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有两种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.
（1）若第三块田放c：
a
b
c
第四、五块田分别有2种方法，共有2×
2＝4（种）方法．
（2）若第三块田放a：
第四块有b或c两种方法，
①若第四块放c：
第五块有2种方法；
②若第四块放b：
第五块只能种作物c，共1种方法．
综上，共有3×
（2×
2＋2＋1）＝42（种）方法．
1．（2019·
上海市奉贤中学高二期中）现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，
高二年级12人,高三年级9人.
（1）选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？
（2）每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？
（3）选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？
【答案】
（1）34；
（2）1404；
（3）381.
（1）根据题意，选其中一人为负责人，有3种情况，
若选出的是高一学生，有13种情况，若选出的是高二学生，有12种情况，
若选出的是高三学生，有9种情况，由分类计数原理可得，共有12+13+9＝34种选法．
（2）根据题意，从高一学生中选出1人，有13种情况；
从高二学生中选出1人，有12种情况；
从高三学生中选出1人，有9种情况；
由分步计数原理，可得共有12×
13×
9＝1404种选法．
（3）根据题意，分三种情况讨论：
若选出的是高一、高二学生，有12×
13＝156种情况，若选出的是高一、高三学生，有13×
9＝117种情况，若选出的是高二、高三学生，有12×
9＝108种情况，由分类计数原理可得，共有156+117+108＝381种选法．
【强化训练】
浙江高三专题练习）空间中不共面的4点A，B，C，D，若其中3点到平面α的距离相等且为第四个点到平面α的2倍，这样的平面α的个数为（）
A．8B．16C．32D．48
【解析】第一种情况，A，B，C，D点在平面α的同侧.
当平面α∥平面BCD时，A与平面α的距离是α与平面BCD的距离的2倍.这种情况下有4个平面.
第二种情况，A，B，C，D中有3个点在平面α的一侧，第4个点在平面α的另一侧，这时又有两种情形：
一种情形是平面α与平面BCD平行，且A与平面α的距离是平面α与平面BCD距离的2倍.这时有4个平面.
另一种情形如图a所示，图中E，F分别是AB，AC的中点，K是AD的三等分点中靠近A的分点，A，B，C
到平面EFK（即平面α）的距离是D到平面EFK距离的一半.
∵EF可以是AB，AC的中点的连线，又可以是AB，BC的中点的连线，或AC，BC的中点的连线，
∴这种情形下的平面α有3×
4=12（个）.
第三种情况，如图b所示，在A，B，C，D四点中，平面α两侧各种有两点.
容易看出：
点A到平面EFMN（平面α）的距离是B，C，D到该平面距离的2倍。
就A，C与B，D分别位于平面α两侧的情形来看，就有A离平面α远，B离平面α远，C离平面α远，D离平面α远这四种情况.又“AC，BD异面，则这样的异面直线共有3对，∴平面α有4×
3=12（个）.
综上分析，平面α有4+4+12+12=32（个）.故选：
C.
浙江高三专题练习）从1，3，5，7，9中任取两个数，从0，2，4，6，8中任取2个数，则组成没有重复数字的四位数的个数为（）
A．2100B．2200C．2160D．2400
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