高考数学的导数及其应用多选题附答案Word格式.docx

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，，

令，解得：

当时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以极大值为，极小值为，

而，

作出，的大致图象，如下：

由图可知，当时，与的图象在上恰有一个交点，

即函数在上恰有一个极值，则，故B正确；

对于C，要使得恒成立，

即在上，恒成立，

即在上，恒成立，即，

设，，则，，

所以极大值为，，

所以在上的最大值为，

所以时，在上，恒成立，

即当时，才恒成立，

所以对任意，不恒成立，故C不正确；

对于D，当时，，，

令，则，即，

作出函数和的图象，可知在内，两个图象恰有两个交点，

则在上恰有2个零点，故D正确.

故选：

ABD.

【点睛】

本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.

2．已知，，下列说法错误的是（）

A．若，则

B．若，则

C．恒成立

D．恒成立

【答案】AD

对A式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A错误；

对B不等式放缩，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B正确；

对C不等式等价变型，通过恒成立，可得C正确；

D求出的最大值，当且仅当时取等号，故D错误.

A.

设，

由图可知，当时，存在，使

此时，故A错误.

B.

设单调递增，，B正确

C.

又，，C正确

D.当且仅当；

当且仅当；

所以，当且仅当时取等号，D错误.

AD

本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.

3．已知函数，的图象与直线分别交于、两点，则（）

A．的最小值为

B．使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线

C．函数至少存在一个零点

D．使得曲线在点处的切线也是曲线的切线

求出、两点的坐标，得出关于的函数表达式，利用导数求出的最小值，即可判断出A选项的正误；

解方程，可判断出B选项的正误；

利用导数判断函数的单调性，结合极值的符号可判断出C选项的正误；

设切线与曲线相切于点，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D选项的正误.进而得出结论.

令，得，令，得，

则点、，如下图所示：

由图象可知，，其中，

令，则，则函数单调递增，且，当时，，当时，.

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，，A选项正确；

，，则，，

曲线在点处的切线斜率为，

令，即，即，

则满足方程，所以，使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线，B选项正确；

构造函数，可得，

函数在上为增函数，由于，，

则存在，使得，可得，

当时，；

当时，.

，

所以，函数没有零点，C选项错误；

设曲线在点处的切线与曲线相切于点，

则曲线在点处的切线方程为，即，

同理可得曲线在点处的切线方程为，

所以，，消去得，

令，则，

函数在上为减函数，，，

则存在，使得，且.

当时，，当时，.

所以，函数在上为减函数，，，

由零点存在定理知，函数在上有零点，

即方程有解.

所以，使得曲线在点处的切线也是曲线的切线.

本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，属于难题.

4．函数有两个极值点、，则下列结论正确的是（）

A．B．在区间上单调递减

C．若，则只有一个零点D．存在，使得

【答案】ACD

利用极值点与导数的关系可判断A选项的正误；

取，利用函数的单调性与导数的关系可判断B选项的正误；

分、两种情况讨论，分析函数的单调性，结合图象可判断C选项的正误；

计算出函数的图象关于点对称，可判断D选项的正误.

，则.

对于A选项，由题意可知，关于的二次方程有两个不等的实根，

则，可得，A选项正确；

对于B选项，当时，且当时，，此时函数在区间上单调递增，B选项错误；

对于C选项，当时，由，可得或；

由，可得.

所以，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为，

由，可得，

此时，函数的极大值为，极小值为，且，如下图所示：

由图可知，此时函数有且只有一个零点，且零点在区间内；

当时，由，可得或；

所以，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为，

此时，函数的极小值为，极大值为，且，如下图所示：

由图可知，此时函数有且只有一个零点，且零点在区间内，C选项正确；

对于D选项，由题意可知，、是方程的两根，

由韦达定理可得，，

取，则

所以，函数的图象关于点对称，

，，D选项正确.

ACD.

方法点睛：

利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：

先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：

将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：

由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

5．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：

抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线：

上两个不同点横坐标分别为，，以为切点的切线交于点.则关于阿基米德三角形的说法正确的有（）

A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上

B．若阿基米德三角形为正三角形，则其面积为

C．若阿基米德三角形为直角三角形，则其面积有最小值

D．一般情况下，阿基米德三角形的面积

【答案】ABC

设出直线的斜截式方程、点的坐标，根据导数的几何意义求出切线的方程，进而求出点的坐标，将直线的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.

A：

把抛物线焦点的坐标代入直线的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；

B：

根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；

C：

根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；

D：

根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可..

由题意可知：

直线一定存在斜率，

所以设直线的方程为：

点，不妨设，

由，所以直线切线的方程分别为：

两方程联立得：

解得：

，所以点坐标为：

直线的方程与抛物线方程联立得：

.

抛物线：

的焦点坐标为，准线方程为，

因为过抛物线的焦点，所以，而，

显然点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；

因为阿基米德三角形为正三角形，所以有，

即，

因为，所以化简得：

此时，点坐标为：

所以，

因此正三角形的边长为，

所以正三角形的面积为，

故本选项说法正确；

阿基米德三角形为直角三角形，当时，

直线的方程为：

所以点坐标为：

，点到直线的距离为：

因为，所以，

因此直角的面积为：

当且仅当时，取等号，显然其面积有最小值，故本说法正确；

因为，所以

点到直线的距离为：

所以阿基米德三角形的面积，

故本选项说法不正确.

ABC

关键点睛：

解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.

6．某同学对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（）

A．函数的图象关于原点对称

B．对定义域中的任意实数x的值，恒有成立

C．函数的图象与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等

D．对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减

【答案】BD

由函数奇偶性的定义即可判断选项A；

由函数的性质可知可得到，即，构造函数求导判断单调性，进而求得最值即可判断选项B；

函数的图象与x轴的交点坐标为且，可判断选项C；

求导分析时成立的情况，即可判断选项D.

对于选项A：

函数的定义域为，且

，所以为偶函数，即函数的图象关于y轴对称，故A选项错误；

对于选项B：

由A选项可知为偶函数，所以当时，，所以，可得到，即，可设，，因为，所以，所以在上单调递增，所以，即恒成立，故选项B正确；

对于选项C：

函数的图象与x轴的交点坐标为，交点与间的距离为，其余任意相邻两点的距离为，故C选项错误；

对于选项D：

，可化为ex（cosx－sinx），不等式两边同除以得，，当，，，区间长度为，所以对于任意常数m>

0，存在常数b>

a>

m，，

，使函数在上单调递减，故D选项正确；

BD

思路点睛：

利用导数研究函数的最值的步骤：

①写定义域，对函数求导；

②在定义域内，解不等式和得到单调性；

③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.

7．设函数的定义域为，已知有且只有一个零点，下列结论正确的有（）

A．B．在区间单调递增

C．是的极大值点D．是的最小值

只有一个零点，转化为方程在上只有一个根，即只有一个正根．利用导数研究函数的性质，可得，判断A，然后用导数研究函数的性质，求出，令，利用新函数确定只有两个零点1和，并证明出的正负，得的单调性，极值最值．判断BCD．

只有一个零点，即方程在上只有一个根，，取对数得，即只有一个正根．

设，则，当时，，递增，时，，时，，递减，此时，

．

∴要使方程只有一个正根．则或，解得或，又∵，∴．A正确；

，，取对数得，

易知和是此方程的解．

设，，当时，，递增，时，，递减，是极大值，

又，

所以有且只有两个零点，

或时，，即，，，，同理时，，

所以在和上递增，在上递减，所以极小值为，极大值为，

又，所以是最小值．B错，CD正确．

ACD．

关键点点睛：

本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定的零点时，利用零点定义解方程，，，取对数得，

易知和是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．

8．若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：

和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（）

A．在内单调递增

B．和之间存在“隔离直线，且b的最小值为4

C．和间存在“隔离直线”，且k的取值范围是

D．和之间存在唯一的“隔离直线”