北师版数学选修45第1章 章末综合测评1文档格式.docx

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【解析】　由a＞b＋1，得a＞b＋1＞b，即a＞b，而由a＞b不能得出a＞b＋1，因此，使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b＋1，选A.

【答案】　A

4．在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是（　　）

A．y＝x＋

B．y＝lgx＋

C．y＝＋

D．y＝sinx＋（0＜x＜π）

【解析】　y＝x＋≥2＝4，A错；

当0＜x≤1时，lgx≤0，B错；

当＝时，x＝0，

∴y＝＋≥2，此时等号取不到，C错；

y＝sinx＋≥2，此时sinx＝1，D正确．

5．不等式|5x－x2|＜6的解集为（　　）

A．{x|x＜2或x＞3}

B．{x|－1＜x＜2或3＜x＜6}

C．{x|－1＜x＜6}

D．{x|2＜x＜3}

【解析】　|5x－x2|＜6⇒－6＜5x－x2＜6

⇔∴－1＜x＜2或3＜x＜6.

6．若不等式2x2＋ax＋b<

0的解集为，则a－b的值是（　　）

A.B．

C.D．

【解析】　由题意，得－＝－，＝－，所以a－b＝－＝.

7．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则（　　）

A．ab≤B．ab≥

C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3

【解析】　由a≥0，b≥0，且a＋b＝2，

∴4＝（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab≤2（a2＋b2），

∴a2＋b2≥2.

【答案】　C

8．设a，b，c为正数，则三个数a＋，b＋，c＋满足（　　）

A．都不大于2B．都不小于2

C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2

【解析】　若a＋＜2，b＋＜2，c＋＜2同时成立，

相加得＋＋<

6，①

∵a，b，c为正数，∴a＋≥2，b＋≥2，c＋≥2，

三式相加得＋＋≥6.②

因为①式与②式矛盾，所以a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2，选D.

9．已知不等式（x＋y）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（　　）

A．2B．4

C．6D．8

【解析】　（x＋y）＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝（＋1）2（当且仅当＝时，取等号）．

∵（x＋y）≥9对任意正实数x，y恒成立，∴只需（＋1）2≥9，∴a≥4.

10．已知a1＞a2＞a3＞0，则使得（1－aix）2＜1（i＝1,2,3）都成立的x的取值范围是（　　）

【解析】　由（1－aix）2＜1，得0＜aix＜2.

又ai＞0，∴0＜x＜对ai（i＝1,2,3）恒成立，

则x小于的最小值．

又a1＞a2＞a3，

∴的最小值为，则x＜.

因此x的取值范围为，选B.

11．设a>

b>

c，n∈N，且＋≥恒成立，则n的最大值是（　　）

A．2B．3

C．4D．6

【解析】　∵＋＝＋＝2＋＋≥4，当且仅当＝时，取等号，

∴＋≥，而＋≥恒成立，得n≤4.

12．若a＞0，b＞0，且函数f（x）＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于（　　）

C．6D．9

【解析】　f′（x）＝12x2－2ax－2b，

由f（x）在x＝1处有极值，

得f′

（1）＝12－2a－2b＝0，

∴a＋b＝6.

又a＞0，b＞0，∴ab≤＝＝9，

当且仅当a＝b＝3时取到等号，故选D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）

13．不等式|x－1|＋|x＋3|≥6的解集是________．

【解析】　当x≤－3时，－2x－2≥6⇒x≤－4；

当x≥1时，2x＋2≥6⇒x≥2；

当－3<

x<

1时，4≤6，舍去．

故解集为{x|x≥2或x≤－4}．

【答案】　（－∞，－4]∪[2，＋∞）

14．关于x的不等式|x－1|＋|x－2|≤a2＋a＋1的解集是空集，则a的取值范围是________．

【解析】　|x－1|＋|x－2|的最小值为1，

故只需a2＋a＋1＜1，∴－1＜a＜0.

【答案】　（－1,0）

15．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．

【解析】　∵|x－1|≤1，∴－1≤x－1≤1，∴0≤x≤2.

又∵|y－2|≤1，∴－1≤y－2≤1，∴1≤y≤3，

从而－6≤－2y≤－2.

由同向不等式的可加性可得－6≤x－2y≤0，

∴－5≤x－2y＋1≤1，

∴|x－2y＋1|的最大值为5.

【答案】　5

16．设x∈，则函数y＝的最小值为________.

【导学号：

94910028】

【解析】　y＝＝tanx＋.

∵x∈，∴tanx＞0，

则tanx＋≥2＝，

当且仅当tanx＝时，取等号，

∴ymin＝.

【答案】　

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）解不等式x＋|2x－1|＜3.

【解】　法一　原不等式可化为

或

解得≤x＜或－2＜x＜.

所以原不等式的解集是.

法二　由于|2x－1|＜3－x，

∴x－3＜2x－1＜3－x，

解得x＞－2且x＜.

∴原不等式的解集是.

18．（本小题满分12分）已知a，b为正数，求证：

＋≥.

【证明】　∵a＞0，b＞0，

∴（a＋b）＝5＋＋≥5＋2＝9.

由a＋b＞0，

得＋≥.

19．（本小题满分12分）设a≥b＞0，求证：

3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.

【证明】　3a3＋2b3－（3a2b＋2ab2）

＝3a2（a－b）＋2b2（b－a）

＝（3a2－2b2）（a－b）．

因为a≥b＞0，

所以a－b≥0,3a2－2b2＞0，

从而（3a2－2b2）（a－b）≥0.

故3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2成立．

20．（本小题满分12分）

（1）设x是正数，求证：

（x＋1）·

（x2＋1）（x3＋1）≥8x3；

（2）若x∈R，不等式（x＋1）（x2＋1）（x3＋1）≥8x3是否仍然成立？

如果成立，请给出证明；

如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．

【证明】　

（1）x是正数，由重要不等式知，

x＋1≥2，1＋x2≥2x，x3＋1≥2，

故（x＋1）（x2＋1）（x3＋1）≥2·

2x·

2

＝8x3（当x＝1时等号成立）．

（2）若x∈R，不等式（x＋1）（x2＋1）（x3＋1）≥8x3仍然成立．证明如下：

由

（1）知，当x＞0时，不等式成立；

当x≤0时，8x3≤0，

又（x＋1）（x2＋1）（x3＋1）

＝（x＋1）2（x2＋1）（x2－x＋1）

＝（x＋1）2（x2＋1）≥0，

此时不等式仍然成立．

21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝|x＋1|－2|x－a|，a＞0.

（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；

（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．

【解】　

（1）当a＝1时，f（x）>

1化为|x＋1|－2|x－1|－1>

0.

当x≤－1时，不等式化为x－4>

0，无解；

当－1<

1时，不等式化为3x－2>

0，解得<

1；

当x≥1时，不等式化为－x＋2>

0，解得1≤x＜2.

所以f（x）>

1的解集为.

（2）由题设可得f（x）＝

所以函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B（2a＋1,0），C（a，a＋1），△ABC的面积为（a＋1）2.

由题设得（a＋1）2>

6，故a>

2.

所以a的取值范围为（2，＋∞）．

22．（本小题满分12分）某小区要建一座八边形的休闲小区，如图1所示，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，并在四周的四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪．造价为每平方米210元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米80元．

图1

（1）设总造价为S元，AD长为x米，试求S关于x的函数关系式；

（2）当x为何值时，S取得最小值？

并求出这个最小值．

【解】　

（1）设DQ＝y米，又AD＝x米，

故x2＋4xy＝200，

即y＝.

依题意，得S＝4200x2＋210×

4xy＋80×

2y2，

＝4200x2＋210（200－x2）＋160

＝38000＋4000x2＋.

依题意x＞0，且y＝＞0，

所以0＜x＜10.

故所求函数为S＝38000＋4000x2＋，x∈（0,10）．

（2）因为x＞0，

所以S≥38000＋2＝118000，

当且仅当4000x2＝，

即x＝时取等号．

所以当x＝∈（0,10）时，

Smin＝118000元．

故AD＝米时，S有最小值118000元．