数学归纳法的应用作业检测Word版 含答案 高中数学选修45 北师大版Word文档下载推荐.docx

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B． 

C． 

4.用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N+，n＞1）时，第一步应验证不等式（　　）．

D．

5.利用数学归纳法证明不等式1+++…+＜f（n）（n≥2，n∈N+）的过程中，由n＝k到n＝k+1时，左边增加了（　　）项．

A．1 

B．k 

C．2k－1 

D．2k

6.设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足“当f（k）≥k2成立时总可推出f（k+1）≥（k+1）2成立．”那么下列命题总成立的是（　　）．

A．若f（3）≥9成立，则当k≥1时，均有f（k）≥k2成立

B．若f（5）≥25成立，则当k≤5时，均有f（k）≥k2成立

C．若f（7）＜49成立，则当k≥8时，均有f（k）＜k2成立

D．若（4）＝25成立，则当k≥4时，均有f（k）≥k2成立

7.设（n∈N+），那么f（n+1）－f（n）等于（　　）

8.用数学归纳法证明：

1-+-+…++…+（n∈N*），则从k到k+1时左边应添加的项为（）

A. 

B.

C.-D.-

9.凸n边形有f（n）条对角线，则凸n+1边形的对角线的条数f（n+1）为（）

A.f（n）+n+1B.f（n）+n

C.f（n）+n-1 

D.f（n）+n-2

二、填空题

10.用数学归纳法证明34n+2+52n+1能被14整除的过程中，当n＝k+1时，34（k+1）+2+52（k+1）+1应变形为________________________．

11.用数学归纳法证明：

（n∈N+，且n＞1）时，第一步即证____________成立．

12.已知数列{an}满足，且前n项和Sn满足Sn＝n2an，则an＝________.

三、解答题

13.对任意正偶数n，求证：

．

14.已知数列{an}中，a1＝2，，n＝1,2,3，…．

（1）求{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}中，b1＝2，，n＝1,2,3，…．证明：

，n＝1,2,3，…．

15.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6.

（1）设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的通项公式；

（2）当n为何值时，an的值最小？

答案解析部分（共有15道题的解析及答案）

一、选择题

1、解析：

，因此．

答案：

D

2、D

f（n+1）＝1+++…++++，因此f（n+1）－f（n）＝++.

3、解析：

所猜测的分式的分母为n+1，而分子3,5,7，…，恰好是第n+1个正奇数，即2n+1．

C

4、B

nN+，n＞1，∴n取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为.

5、D

1+++…+－＝++…+，共增加了2k项．

6、D

由数学归纳法原理可得，

若f（3）≥9成立，则当k≥4时，均有f（k）≥k2成立，故A不正确．

若f（5）≥25成立，则当k≥5时，均有f（k）≥k2成立，故B不正确．

若f（7）＜49成立，则当k≤6时，均有f（k）＜k2成立，故C不正确．

若f（4）＝25＞42成立，则当k≥4时，均有f（k）≥k2成立．

7、D

f（n+1）－f（n）＝

＝

＝.

8、解析：

n=k时，左边=1-+-+…+;

n=k+1时，左边=1-+-+…++-.

故添加的项为-.

答案:

9、C

二、填空题

10、解析：

当n＝k+1时，34（k+1）+2+52（k+1）+1＝81×

34k+2+25×

52k+1＝25（34k+2+52k+1）+56×

34k+2．

25（34k+2+52k+1）+5634k+2

11、解析：

因为n∈N+且n＞1，所以n的初始值为n0＝2，此时原不等式即为．

12、　

方法一：

（归纳法），，，，寻找分母的规律．方法二：

Sn+1－Sn＝（n+1）2an+1－n2an，所以（n2+2n）an+1＝n2an，所以，，，…，，，，所以＝.又因为，所以an+1＝，又因为a1＝＝.所以.

三、解答题

13、分析：

（1）此题为数学归纳法证明问题的一种新题型，传统问题论证对连续的正整数成立，而这里变成对连续的正偶数成立．归纳假设为n＝2k，与它连续的是2k+2，相当于由k到k+1，应注意体会数学归纳法的这种变形使用，把它用活．

（2）本题亦可假设n＝k（k为正偶数）成立，证明n＝k+2成立．

证明：

（1）当n＝2时，等式左边＝，

等式右边＝，

∴左边＝右边，等式成立．

（2）假设n＝2k（k∈N+）时等式成立，即

成立．

当n＝2k+2（k∈N+）时，

．

∴对n＝2k+2（n∈N+）等式成立．

由

（1）

（2）知，对一切正偶数n＝2k（k∈N+）等式成立．

14、解：

（1）由题设，

所以．

所以数列是首项为，公比为的等比数列．则，

即an的通项公式为，n＝1,2,3，…．

（2）用数学归纳法证明．

①当n＝1时，因为，b1＝a1＝2，

所以，结论成立．

②假设当n＝k时，结论成立，即，

也即．

当n＝k+1时，，

又，

所以，

也就是说，当n＝k+1时，结论成立．

根据①②，知，n＝1,2,3，…．

15、解：

（1）由an＋2－2an＋1＋an＝2n－6，

得（an＋2－an＋1）－（an＋1－an）＝2n－6，

即bn＋1－bn＝2n－6，b1＝a2－a1＝－14.

当n≥2时，

bn＝b1＋（b2－b1）＋（b3－b2）＋…＋（bn－bn－1）

＝－14＋（2×

1－6）＋（2×

2－6）＋…＋[2（n－1）－6]

＝－14＋2×

－6（n－1）

＝n2－7n－8.

经验证，当n＝1时，上式也成立．

∴数列{bn}的通项公式为bn＝n2－7n－8.

（2）由

（1）可知，an＋1－an＝n2－7n－8＝（n＋1）（n－8）．

当n＜8时，an＋1＜an，

即a1＞a2＞a3＞…＞a8；

当n＝8时，a9＝a8；

当n＞8时，an＋1＞an，

即a9＜a10＜a11＜….

∴当n＝8或n＝9时，an的值最小．