正弦函数和余弦函数图像与性质Word文档下载推荐.docx
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规定：
当
与
轴同向时为正值，当
轴反向时为负值；
当
根据上面规定，则
由正弦、余弦、正切三角比的定义有：
这几条与单位圆有关的有向线段
叫做角
的正弦线、余弦线、正切线。
二、讲授新课
【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦（或余弦）为例，对于每一个给定的角和它的正弦值（或余弦值）之间是否也存在一种函数关系？
若存在，请对这种函数关系下一个定义；
若不存在，请说明理由．
1、正弦函数、余弦函数的定义
（1）正弦函数：
（2）余弦函数：
【问题驱动2】——如何作出正弦函数
、余弦函数
的函数图象？
2、正弦函数
的图像
（1）
【方案1】——几何描点法
步骤1：
等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；
步骤2：
描点——平移定点，即描点
步骤3：
连线——用光滑的曲线顺次连结各个点
小结：
几何描点法作图精确，但过程比较繁。
【方案2】——五点法
列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标；
描点——定出五个关键点；
连线——用光滑的曲线顺次连结五个点
的五个关键点是
（2）
由
，所以函数
在区间
上的图像与在区间
上的图像形状一样,只是位置不同.
于是我们只要将函数
的图像向左、右平行移动（每次平行移动
个单位长度），就可以得到正弦函数
的图像。
3、余弦函数
图像平移法
由
，可知只须将
的图像向左平移
即可。
三、例题举隅
例、作出函数
的大致图像；
【设计意图】——考察利用“五点法”作正弦函数、余弦函数图像
【解】
①列表
②描点
在直角坐标系中，描出五个关键点：
、
③连线
练习、作出函数
的大致图像
二、性质
1．定义域：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或（－∞，＋∞）］，
分别记作：
y＝sinx，x∈Ry＝cosx，x∈R
2．值域
因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，
｜cosx｜≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1
也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］
其中正弦函数y=sinx，x∈R
①当且仅当x＝
＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1
②当且仅当x＝－
＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1
而余弦函数y＝cosx，x∈R
①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1
②当且仅当x＝（2k＋1）π，k∈Z时，取得最小值－1
3．周期性
由sin（x＋2kπ）＝sinx，cos（x＋2kπ）＝cosx（k∈Z）知：
正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。
一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ（k∈Z且k≠0）都是这两个函数的周期
对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期。
4．奇偶性
由sin（－x）＝－sinx，cos（－x）＝cosx
可知：
y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数
∴正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称
5．单调性
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［－
＋2kπ，
＋2kπ］（k∈Z）上都是增函数，其值从－1增大到1；
在每一个闭区间［
＋2kπ］（k∈Z）上都是减函数，其值从1减小到－1。
余弦函数在每一个闭区间［（2k－1）π，2kπ］（k∈Z）上都是增函数，其值从－1增加到1；
在每一个闭区间［2kπ，（2k＋1）π］（k∈Z）上都是减函数，其值从1减小到－1
y=sinx
y=cosx
图象
定义域
R
值域
[-1,1]
最值
当且仅当x＝
＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1
当且仅当x＝－
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1
当且仅当x＝（2k＋1）π，k∈Z时，取得最小值－1
周期性
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在闭区间［－
＋2kπ］（k∈Z）上单调递增，；
在闭区间［
＋2kπ］（k∈Z）上单调递减
在闭区间［（2k－1）π，2kπ］（k∈Z）上单调递增；
在每一个闭区间［2kπ，（2k＋1）π］（k∈Z）上单调递减
典型例题（3个，基础的或中等难度）
例1：
求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么。
（1）y＝cosx＋1，x∈R；
（2）y＝sin2x，x∈R
解：
（1）使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝。
∴函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2。
（2）令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝
＋2kπ，k∈Z｝
由2x＝Z＝
＋2kπ，得x＝
＋kπ
即使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝
＋kπ，k∈Z｝
∴函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1。
例2：
求下列函数的单调区间
（1）y＝－cosx
（2）y=
sin（4x-
）（3）y=3sin（
-2x）
（1）由y＝－cosx的图象可知：
单调增区间为［2kπ，（2k＋1）π］（k∈Z）
单调减区间为［（2k－1）π，2kπ］（k∈Z）
（2）当2kπ-
≤4x-
≤2kπ+
∴函数的递增区间是[
-
+
]（k∈Z）
当2kπ+
∴函数的递减区间是[
（3）当2kπ-
≤
-2x≤2kπ+
时，函数单调递减，
∴函数单调递减区间是[kπ-
，kπ+
时，函数单调递增，
∴函数单调递减区间是[kπ+
例3：
求下列三角函数的周期：
（1）y=sin（x+
）
（2）y=cos2x（3）y=3sin（
）
（1）令z=x+
而sin（2π+z）=sinz即：
f（2π+z）=f（z）
f[（x+2π）+
]=f（x+
）∴周期T=2π.
（2）令z=2x∴f（x）=cos2x=cosz=cos（z+2π）=cos（2x+2π）=cos[2（x+π）]
即：
f（x+π）=f（x）∴周期T=π。
（3）令z=
则
f（x）=3sinz=3sin（z+2π）=3sin（
+2π）=3sin（
）=f（x+4π）
∴周期T=4π。
注：
y＝Asin（ωx＋φ）的周期T=
（四）课堂练习（2个，基础的或中等难度）
1、求使下列函数y=3-cos
取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么。
当cos
=-1，即
=2kπ+π，k∈Z，∴{x|x=4kπ+2π，k∈Z}，
y=3-cos
取得最大值。
2、求y=
的周期。
∵y=
=
（1-cos2x）=
cos2x，∴T=π。
3、求函数y=3cos（2x+
）的单调区间。
当2kπ≤2x+
≤2kπ+π时，函数单调递减，
∴函数的单调递减区间是[kπ-
当2kπ-π≤2x+
≤2kπ时，函数单调递增，
∴函数的单调递增区间是[kπ-
，kπ-
（五）拓展探究（2个）
1、求下列函数的周期：
（1）y=sin（2x+
）+2cos（3x-
）
（2）y=|sinx|（3）y=2
sinxcosx+2cos2x-1
（1）y1=sin（2x+
）最小正周期T1=π
y2=2cos（3x-
）最小正周期T2=
∴T为T1,T2的最小公倍数2π∴T=2π
（2）T=π
（3）y=
sin2x+cos2x=2sin（2x+
）∴T=π
2、求下列函数的最值：
（1）y=sin（3x+
）-1
（2）y=sin2x-4sinx+5（3）y=
（1）当3x+
=2kπ+
即x=
（k∈Z）时，ymax=0
当3x+
=2kπ-
即x=
（k∈Z）时，ymin=-2
（2）y=（sinx-2）2+1∴当x=2kπ-
k∈Z时，ymax=10
当x=2kπ-
k∈Z时，ymin=2
（3）y=-1+
当x=2kπ+πk∈Z时，ymax=2
当x=2kπk∈Z时，ymin=
作业
一、填空题
1、函数y=cos（x-
）的奇偶性是_________________。
2、函数y=-5sinx+1的最大值是__________，此时相应的x的值是________________。
3、函数y=sinxcosx的最小正周期是_________。
4、函数y=sinxcos（x+
）+cosxsin（x+
）的最小正周期是________。
5、函数y=3cos（2x+
）的单调递减区间是___________________。
6、函数y=sinx和y=cosx都为减函数的区间是___________________。
7、函数y=sin（
-2x）的单调递增区间是________________________。
8、已知函数y=f（x）是以
为周期，且最大值为3，最小值为-1，则这个函数的解读式可以是________________。
二、选择题
1、函数y=sinx，x∈[
]的值域是（）
（A）[-1，1]（B）[
，1]（C）[
]（D）[
，1]
2、下列函数中，周期是
的函数是（）
（A）y=sinπx（B）y=cos2x（C）y=sin
（D）y=sin4kπ
3、下列函数是奇函数的是（）
（A）y=sin|x|（B）y=xsin|x|（C）y=-|sinx|（D）y=sin（-|x|）
4*、函数y=sin（2x+
）+cos（2
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