最新高考数学理第四章三角函数 课时撬分练44习题及答案Word格式文档下载.docx
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∴b2＝ac＝2a2，
∴b＝a.由余弦定的推论可得cosB＝＝.故选A.
3．[2016·
枣强中学热身]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为（ ）
A．60°
B．30°
C．150°
D．45°
答案 B
解析 由sinB＋cosB＝得1＋2sinBcosB＝2，则sin2B＝1，因为0°
<
B<
180°
，所以B＝45°
，又因为a＝，b＝2，所以在△ABC中，由正弦定得＝，解得sinA＝，又a<
b，所以A<
B＝45°
，所以A＝30°
.
4．[2016·
衡水中学一轮检测]在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是（ ）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
答案 C
解析 解法一：
因为a＝2bcosC，所以由余弦定得，a＝2b·
，整得b2＝c2，则此三角形一定是等腰三角形．
解法二：
因为a＝2bcosC，由正弦定得sinA＝2sinBcosC，又A＋B＋C＝π，故sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC得sin（B－C）＝0，又B、C∈（0，π），所以B＝C.
5．[2016·
衡水二中周测]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C成等差列，2a,2b,2c成等比列，则cosAcosB＝（ ）
解析 由已知得2B＝A＋C，又A＋C＋B＝π，故B＝，又4b2＝4ac，则b2＝ac，所以由余弦定得b2＝a2＋c2－2accos＝ac，即（a－c）2＝0，故a＝c，所以△ABC是等边三角形，则cosAcosB＝cos60°
×
cos60°
＝.
6．[2016·
枣强中学仿真]某人向正东方向走xkm后，向右转150°
，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是km，那么x的值为（ ）
A.B．2
C.或2D．3
解析 如图所示，设此人从A出发，则AB＝xkm，BC＝3km，AC＝km，∠ABC＝30°
，
由余弦定，得（）2＝x2＋32－2x·
3·
cos30°
整得x2－3x＋6＝0，解得x＝或2.
7．[2016·
衡水二中月考]在不等边△ABC（三边均不相等）中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有＝，则角C的大小为________．
答案
解析 依题意得acosA＝bcosB，从而sinAcosA＝sinBcosB，sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，又△ABC三边均不相等，因此A＋B＝，C＝.
8.[2016·
武邑中学热身]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，a＝，若给定一个b的值使满足条件的三角形有且只有一个，则b的取值范围为________．
点击观看解答视频
答案 （0，]∪{2}
解析 如图1所示，当a＝bsinA，即＝bsin，b＝2时，△ABC为直角三角形，只有一个解；
如图2所示，当a≥b时，即0<
b≤时，三角形有且只有一个．所以b的取值范围为（0，]∪{2}．
9．[2016·
衡水二中期中]已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b＝6，cosA＝－.
（1）求c；
（2）求cos的值．
解
（1）在△ABC中，由余弦定得，
a2＝b2＋c2－2bccosA，代入据得48＝36＋c2－2×
c×
6×
，即c2＋4c－12＝0，（c＋6）（c－2）＝0，解得c＝2或c＝－6（舍），∴c＝2.
（2）由cosA＝－<
0，得A为钝角，且sinA＝.
在△ABC中，由正弦定，得＝，则sinB＝＝＝，由于B为锐角，则cosB＝，
cos2B＝1－2sin2B＝1－2×
＝－，
sin2B＝2sinBcosB＝2×
＝，
所以cos＝（cos2B＋sin2B）
＝＝.
10.
[2016·
枣强中学模拟]如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB＝，cos∠ADC＝－.
（1）求sin∠BAD的值；
（2）求AC边的长．
解
（1）因为cosB＝，所以sinB＝.
又cos∠ADC＝－，所以sin∠ADC＝，
所以sin∠BAD＝sin（∠ADC－∠B）＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝×
－×
（2）在△ABD中，由＝得＝，
解得BD＝2.
故DC＝2，从而在△ADC中，由AC2＝AD2＋DC2－2AD·
DC·
cos∠ADC＝32＋22－2×
3×
2×
＝16，得AC＝4.
11.[2016·
衡水二中期末]在△ABC中，2sin2C·
cosC－sin3C＝（1－cosC）．
（1）求角C的大小；
（2）若AB＝2，且sinC＋sin（B－A）＝2sin2A，求△ABC的面积．
解
（1）由2sin2C·
cosC－sin（2C＋C）＝（1－cosC），
得sin2CcosC－cos2CsinC＝－cosC，
简得sinC＝－cosC，
即sinC＋cosC＝，
2sin＝，
所以sin＝，
从而C＋＝，故C＝.
（2）由sin（A＋B）＋sin（B－A）＝2sin2A，
可得sinBcosA＝2sinAcosA.
所以cosA＝0或sinB＝2sinA.
当cosA＝0时，A＝90°
，则b＝，
S△ABC＝·
b·
c·
sinA＝×
1＝；
当sinB＝2sinA时，由正弦定得b＝2a.
由cosC＝＝＝，
可知a2＝.
所以S△ABC＝·
a·
sinC＝·
2a·
＝a2＝.
综上可知S△ABC＝.
12．[2016·
冀州中学仿真]在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对边的边长，且C＝，a＋b＝λc（其中λ>
1）．
（1）若λ＝时，证明△ABC为直角三角形；
（2）若·
＝λ2，且c＝3，求λ的值．
解
（1）∵λ＝，∴a＋b＝c，
由正弦定得sinA＋sinB＝sinC，
∵C＝，∴sinB＋sin＝，
sinB＋cosB＋sinB＝，
∴sinB＋cosB＝，
则sin＝，从而B＋＝或B＋＝，B＝或B＝.
若B＝，则A＝，△ABC为直角三角形；
若B＝，△ABC亦为直角三角形．
＝λ2，则a·
b＝λ2，∴ab＝λ2.
又a＋b＝3λ，由余弦定知a2＋b2－c2＝2abcosC，
即a2＋b2－ab＝c2＝9，即（a＋b）2－3ab＝9，
故9λ2－λ2＝9，得λ2＝4，又∵λ>
1，即λ＝2.
能力组
13.[2016·
衡水二中模拟]已知△ABC的三边长为a，b，c，且面积S△ABC＝（b2＋c2－a2），则A＝（ ）
解析 因为S△ABC＝bcsinA＝（b2＋c2－a2），所以sinA＝＝cosA，故A＝.
14.[2016·
枣强中学期末]若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC（ ）
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
解析 在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，
∴a∶b∶c＝5∶11∶13，
故令a＝5k，b＝11k，c＝13k（k>
0），由余弦定可得
cosC＝＝＝－<
0，
又∵C∈（0，π），∴C∈，
∴△ABC为钝角三角形，故选C.
15．[2016·
衡水二中仿真]在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2cos（B－C）＝4sinBsinC－1.
（1）求A；
（2）若a＝3，sin＝，求b.
解
（1）由2cos（B－C）＝4sinBsinC－1，得2（cosBcosC＋sinBsinC）－4sinBsinC＝－1，即2（cosBcosC－sinBsinC）＝－1.
从而2cos（B＋C）＝－1得cos（B＋C）＝－.
又A，B，C为△ABC的内角，
∴B＋C＝π，故A＝.
（2）由
（1）知0<
π，∴0<
，已知sin＝，得cos＝，∴sinB＝2sincos＝，
由正弦定＝得＝，解得b＝.
16．[2016·
衡水二中热身]风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝不能靠近．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100m，∠PAB＝75°
，∠QAB＝45°
，∠PBA＝60°
，∠QBA＝90°
，如图所示．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离各为多少？
解 △PAB中，∠APB＝180°
－（75°
＋60°
）＝45°
由正弦定得＝⇒AP＝50.
△QAB中，∠ABQ＝90°
∴AQ＝100，∠PAQ＝75°
－45°
＝30°
由余弦定得PQ2＝（50）2＋（100）2－2×
50×
100cos30°
＝5000，
∴PQ＝＝50.
因此，P，Q两棵树之间的距离为50m，A，P两棵树之间的距离为50m.
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