中考数学二次函数与三角形面积专项测试题与答案Word下载.docx

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3、如图所示，已知抛物线y＝－

x2＋bx＋c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．

（1）直接写出抛物线的解析式：

____________________；

（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；

当t为何值时，△CED的面积最大？

最大面积是多少？

（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积，若存在，求出P点的坐标；

第3题图

4、（10分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x与二次函数y＝x2＋bx的图象相交于O、A两点，点A（3，3），点M为抛物线的顶点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）长度为2

的线段PQ在线段OA（不包括端点）上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；

（3）直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF＝S△AOM？

若存在，求出点E的坐标；

第4题图

参考答案与解析：

1．解：

（1）令x＝0，得y＝－3，

∴C（0，－3），

把（－1，0）和（3，0）代入y＝ax2＋bx－3中，得

，解得

，

∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；

…………………………（3分）

（2）联立方程组

解得

∵O是AB的中点，

∴x1＋x2＝0，即

解得k＝－2，

∴

或

∴A（－

，2

），B（

，－2

）；

…………………………（7分）；

（3）不存在实数k使得△ABC的面积为

.理由如下：

假设存在实数k使得△ABC的面积为

联立方程组

则A（

），

B（

∴S△ABC＝

OC（xB－xA）＝

×

3×

＝

∴k2＋4k＋16＝10，即k2＋4k＋6＝0，

∵b2－4ac＝16－24<

0，

∴此方程无解，

∴不存在实数k使得△ABC的面积为

.………………（12分）

2．解：

（1）把点A（－1，0），B（3，0）代入y＝－x2＋bx＋c，得

∴y＝－x2＋2x＋3；

【一题多解】由题意可知点A（－1，0），点B（3，0）是抛物线与x轴的两个交点，∴抛物线解析式为y＝－（x＋1）（x－3）＝－x2＋2x＋3.

（2）存在点D，使得△BCD的面积最大．

设D（t，－t2＋2t＋3），如解图①，作DH⊥x轴于点H，C点坐标为（0，3），

第2题解图①

则S△BCD＝S四边形DCOH＋S△BDH－S△BOC＝

t（－t2＋2t＋3＋3）＋

（3－t）（－t2＋2t＋3）－

3＝－

t2＋

t，

∵－

＜0，即抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值，

∴当t＝－

时，S△BCD＝－

（

）2＋

即点D的坐标为（

）时，S△BCD有最大值，且最大面积为

；

（3）存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等．

如解图②，∵P（1，4），过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一，

第2题解图②

∵直线BC为y＝－x＋3，

∴过点P作BC的平行直线l1，设l1为y＝－x＋b，将P（1，4）代入即可得到直线l1的解析式为y＝－x＋5，

，

∴Q1（2，3）；

∵直线PM为x＝1，直线BC为y＝－x＋3，

∴M（1，2），

设PM与x轴交于点E，

∵PM＝EM＝2，

∴过点E作BC的平行直线l2，则过点E且与BC平行的直线l2与抛物线的交点也为所求Q点之一，即将直线BC向下平移2个单位得到直线l2，解析式为y＝－x＋1，

∴Q2（

），Q3（

），

∴满足条件的Q点为Q1（2，3），Q2（

）．

3．解：

（1）y＝－

x2＋3x＋8；

【解法提示】把点A（0，8）、B（8，0）代入y＝－

x2＋bx＋c可得，

∴抛物线解析式为y＝－

x2＋3x＋8.

（2）在y＝－

x2＋3x＋8中，当y＝0时，－

x2＋3x＋8＝0，

解得x1＝－2，x2＝8，

∴E（－2，0），

∴BE＝10，

∵S△CED＝

DE·

OC，

∴S＝

t（10－t）＝－

t2＋5t，

∴S与t的函数关系式为：

S＝－

∵S＝－

t2＋5t＝－

（t－5）2＋

∴当t＝5时，△CED的面积最大，最大面积为

（3）存在，当△CED的面积最大时，t＝5，即BD＝DE＝5，此时，要使S△PCD＝S△CED，CD为公共边，故只需求出过点B、E且平行于CD的直线即可，如解图．

第3题解图

设直线CD的解析式为y＝kx＋b，

由

（2）可知OC＝5，OD＝3，

∴C（0，5），D（3，0），

把C（0，5）、D（3，0）代入y＝kx＋b，得

∴直线CD的解析式为y＝－

x＋5，

∵DE＝DB＝5，

∴过点B且平行于CD的直线解析式为y＝－

（x－5）＋5，

过点E且平行于CD的直线解析式为y＝－

（x＋5）＋5，

分别与抛物线解析式联立得：

方程①：

－

x2＋3x＋8＝－

解得x1＝8，x2＝

方程②：

解得x3＝

，x4＝－2（舍去），

分别将x值代入抛物线解析式，得y1＝0，y2＝

，y3＝－

又∵P点不与E点重合，

∴满足题意的P点坐标有3个，分别是P1（8，0），P2（

），P3（

，－

4．解：

（1）由题意知，A（3，3）在二次函数y＝x2＋bx的图象上，

将x＝3，y＝3代入得9＋3b＝3，

解得b＝－2，

∴二次函数表达式为y＝x2－2x；

……………………………（2分）

（2）如解图①所示，过点P作PB⊥QQ1于点B，

第4题解图①

∵PQ＝2

，且在直线y＝x上，

∴PB＝QB＝2，………………………………………………（3分）

设P（a，a），则Q（a＋2，a＋2），

P1（a，a2－2a），Q1（a＋2，（a＋2）2－2（a＋2）），

即Q1（a＋2，a2＋2a），

∴四边形PQQ1P1的面积为：

＝－2a2＋2a＋2＝－2（a－

，…………………………（4分）

当Q运动到点A时，OP＝OQ－PQ＝

，a＝1，

∴a的取值范围为0＜a＜1，

∴当a＝

时，四边形PQQ1P1的面积最大，最大值为

…（5分）

（3）存在，点E的坐标为E1（

），E2（

如解图②所示，连接OM，

第4题解图②

∵点M为抛物线顶点，

∴M（1，－1），

又∵OA所在直线为y＝x，

∴OM⊥OA，即∠AOM＝90°

在△AOF和△AOM中，以OA为底，当面积相等时，则两三角形OA边上的高相等，

又∵OM⊥OA，且OM＝

∴可作两条与OA互相平行且距离为

的直线，…………（6分）

如解图②所示，在直线HD、MC上的点F均满足S△AOF＝S△AOM，∴只需满足E点的对称点F在这两条直线上即可．

如解图②，过点A作AC⊥MC于点C，易得四边形OACM为矩形，AM为该矩形的一条对角线，取AM中点O′，过O′作AM垂线，交OA于点E1，交MC于点F1，OA＝3

∴AO′＝

∵△AO′E1∽△AOM，…………………………………………（7分）

解得OE1＝

∵点E1在y＝x上，

∴E1（

），……………………………………………………（8分）

同理可得HF2＝GE2＝

又∵OG＝2OA＝6

∴OE2＝6

，∴E2（

综上所述，符合条件的E点的坐标为：

E1（

）、E2（

………………………………………………………………（10分）