合理构造函数解导数问题Word下载.docx
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又g
10,
g
X00,0
X0
当0
xX0时，g
0,所以gx
在0x
X0上递减；
当X。
x1时，g
0,所以x。
x1上递增；
1时，gx
0,所以gx在x
1上递减；
又当
x时，g
.2
3
1
gx
xlnxx
xInxx
xx
Inx-
4
0时，Inx
-
0,则gx
0,且g1
0.
b的取值围为
一阶导数草图
6x
，gx
Inx
2.23
2x3x，gxxInxxx
方法二、
构造:
2x
2x2
2x1x1
从而Gx在0,1上为增函数;
1,G
分析点评：
第（
0,从而Gx在1,
上为减函数
3）问的两种解法难易繁杂一目了然，关键在合理构造函数上。
（08、、理）已知函数f（x）_+aln（x—1）,其中n是正整数,
（1x）
a是常数，若a_1时,
求证：
当x>
2时，f（x）<
x—1.
证法一：
当a=1时,
f（x）
—（1
—n+ln（x—1）,构造函数F（x）—（xx）
—1）—f（x），下证：
当
x>
时,
F（x）_（x—1）—k-ln（x-1）>
恒成立.
n
n1
x）
x2—A（x>
2）.
1若n为偶数，：
x》2,「.‘$0,1—xv—1v0,（1—x）1v0,
x1
所以：
2时，F'
（x）>
0.「.F（x）min=F
（2）=（2—1）—'
—ln（2
（〔一2）
—1）=0,所以：
2，且n为偶数时,F（x）=（x—1）—J—ln（x
—1）»
②若n为奇数'
要证書+ln（x-1）<
x-1，-x>
2「占v
0，所以只需证：
ln（x—1）<
x—1（下略）.
小结2:
含有正整数“n”的表达式的符号、数值判断，“对n分奇、偶讨论”是一种重要的方法.在数列中运用很多.
证法二：
t当x>
2时，<
1，二只需要证明1+ln（x—1）<
x—
1.构造函数F（x）=（x—1）—[1+ln（x—1）]，即F（x）=x—2—ln（x—1），则F'
（x）=U（下略）.
小结3:
证法一是直接作“差函数”（直接构造新函数），然后分奇、偶讨论；
证法二是先适当放缩，然后构造新函数.解题时，要有敏锐的观察力.
2.变形与整理
直接构造新函数F（x）=f（x）—g（x），来证明函数不等式f（x）>
g（x）
时，目标是：
F（a）min»
，从而F（x）»
，所以：
f（x）>
g（x）.但常常会出现下列
几种异常情况：
①F'
（x）的符号无法判断，【F'
（x）的符号-F（x）的单调性-F（x）的极值】从而F（x）的极值无法求出；
②虽然F（x）的极值能够求出，但极值是关于参数a的表达式F（a）,无法判断极值F（a）是大于0,还是小于0;
③直接构造的新函数F（x）=f（x）—g（x），其导函数F（x）非常复杂或根本无法求出.出现这种异常情况，表明所构造的新函数F（x），不适当.这时，需要对“函数不等式”重新整理后，再构造新函数F（x）,如题2.注意下面的题目的求解方法.
那么怎样合理构造函数呢?
（1）抓住问题的实质，化简函数
1、已知fx是二次函数，不等式fx0的解集是0,5，且fx在区间1,4上的最
大值12.
（1）求fx的解析式；
实数根？
若存在，求出所有m的值；
若不存在，请说明理由。
解:
（1）y2x10xxR
32
2x10x37
画图分析:
进而检验，知h（3）0,h（）0,h（4）0,所以存在实数m3使得fx0在区间
3x
3,4有且只有两个不等的实数根。
点评：
本题关键是构造了函数hx2x310x237，舍弃了原函数中分母X,问题得到了
简化。
变式练习：
设函数fxx6x5,xR，求已知当x1,时，fxkx1恒成立，数k的取值围。
24•已知函数f（x）1x2alnx（aR）.
（I）求函数f（x）的单调区间;
12
（n）求证：
x时,2xlnx
数f（x）的单调递减区间为（0,a）.
Q当x1时，g（x）（x1）（汰x"
0,
lnx2x3。
（I）
（n）
求f（x）的单调增区间;
（出）
a1时，在区间［1,
+g）上，函数f（x）的图象总在函数
g（x）彳x3的
图象的下方.
（I）当a1时，f（x）x
，x1,e时，f（x）0，故f（x）在［1，e］上
是增函数.
11
...f（x）maX=f（e）=1e2+1；
f（x）min=f
（1）=1
为（0,）；
a<
0时，增区间为（0,J——）。
\a
（III）设F（x）=x2+lnx—x3，则F（x）=x+
23
1，二F（x）V0，故F（x）在［1,+門上是减函数,
1c2（1x）（1x2x2）•
-—2x2=.•
又F
（1）=—-V0，二在［1,+6
X］上，有F（x）V0,即一x2+lnxVx3
故函数f（x）的图象在函数g（x）
=—x3的图
象的下方.
（2）抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题:
设gx
nmx-
2lnx.
（1）
0恒成立；
（2）
试讨论关于
x的方程mx
x2ex
tx根的个数。
解证：
（
（1）mn
（2）方程mxgx
3x
2ex2
tx,从而
2lnxx32ex2tx
因为x
0,所以方程可变为
2lnx
x22ex
t.
例：
已知函数fxnlnx的图像在点P（m,fm）处的切线方程为yx,
2lnx
c1
lnx
令L
Hxx2ext，得：
Lx
2——
0,e时，
Lx0,Lx在0,e上为增函数；
当xe,时，Lx0,Lx在xe,上为减函数;
当xe时，LxmaxL（e），
e
22.2
又Hxx2extxete,
所以函数Lx,Hx在同一坐标系的大致图像如图所示
222
-时，方程无解；
—时，方程一解；
-时，方程有2个根。
当te2,即te2
2当te,即te
3当te,即te
一次函数，二次函数，指对数函数，幕函数，简单的分式根式函数，绝对值函数
的图象力求清晰准确，一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体，如果适当分解和调配
就一定能找到问题解决的突破口，使问题简单化明确化。
v-vi<
3已知平面向量a=（3,-1）.b=（,）.
22
（1）证明a丄b;
vvvvvvvv
（2）若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+（t2-3）b,y=-ka+tb,x丄y，试
求函数关系式k=f（t）;
（3）据⑵的结论，讨论关于t的方程f（t）-k=0的解的情况.
vv厂1J3vv
解答：
⑴Tab=.3X—+（-1）x-=0Z.a丄b.
vvvvvvvv
（2）vx丄y，二xy=0即[a+（t2-3）b]•（a+tb）=0.
v2vvv2
整理后得-ka+[t-k（t2-3）]ab+t（t2-3）b=0
vvV2V2
Tab=0,a=4,b=1,
•••上式化为-4k+t（t2-3）=o，即k=—t（t2-3）
⑶讨论方程一t（t2-3）-k=0的解的情况，可以看作曲线f（t）=t（t2-3）与直线y=k
44
的交点个数.
13
于是f'
⑴才2-1）=严恥1）.
令f'
（t）=0,解得1,t2=1.当t变化时，f'
f（t）的、变化情况如下表:
t
（-3-1）
-1
（-1,1）
（1,+3）
厂⑴
+
F（t）
/
极大值
极小值
当t=-1时，f（t）有极大值，f（t）极大值=.
当t=1时，f（t）有极小值，f（t）极小值二.
函数f（t）=-t（t2-3）的图象如图13—2-1所示,
可观察出：
（1）当k>
或kV-—时，方程f（t）-k=0有且只有一解;
⑵当k=或k=-时，方程f（t）-k=0有两解；
（3）当-一vkv时,方程f（t）-k=0有三解.
【点晴】导数的应用为作函数的草图提供了新途径，方程根的个数与极值的正负有关。
（3）复合函数问题一定要坚持定义域优先的原则，抓住函数的复合过程能够逐层分解。
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