合理构造函数解导数问题Word下载.docx

1、又g1 0,gX0 0, 0X0当0x X0 时，g0,所以g x在0 xX0上递减；当X。x 1 时，g0,所以x。x 1上递增；1 时，g x0,所以g x在x1上递减；又当x 时，g. 23, 1g xxln x xx In x xx xIn x -40 时，In x-0,则 g x0,且 g 1,0.b的取值围为一阶导数草图6x，g xIn x2 .232x 3x ，g x x In x x x方法二、构造:2x2x22x 1 x 1从而G x在0,1上为增函数;1,G分析点评：第（0,从而G x在1,上为减函数3）问的两种解法难易繁杂一目了然，关键在合理构造函数上。（08、理）已知函

2、数f （x） _ + aln（x 1）,其中n是正整数,（1 x）a是常数，若a_ 1时,求证：当 x2 时，f （x） 时,F（x） _（x1）k- ln（x -1） 恒成立.nn 1x）x2 A（ x 2）.1若 n 为偶数，：x2 ,. $0 , 1 x v 1 v 0, （1 x） 1v 0 ,x 1所以：2 时，F（x） 0.F（x）min = F（2） = （2 1） ln（2（一2）1） = 0,所以：2，且n 为偶数时,F（x） = （x 1） J ln（x1）若n为奇数要证 書+ln（x -1） 2占v0，所以只需证：ln（x 1） 2时， 1，二只需要证明1 + ln（x

3、1）g （x）时，目标是：F（a）min ，从而F（x），所以：f （x） g （x）.但常常会出现下列几种异常情况：F（x）的符号无法判断，【F（x）的符号-F（x）的单调 性-F（x）的极值】从而F（x）的极值无法求出；虽然F（x）的极值能够 求出，但极值是关于参数a的表达式F（a）,无法判断极值F（a）是大于 0,还是小于0;直接构造的新函数F（x） = f （x） g （x），其导函数F （x）非常复杂或根本无法求出.出现这种异常情况，表明所构造的新 函数F（x），不适当.这时，需要对“函数不等式”重新整理后，再构 造新函数F（x）,如题2 .注意下面的题目的求解方法.那么怎样合理构造

4、函数呢?（1 ）抓住问题的实质，化简函数1、已知f x是二次函数，不等式f x 0的解集是0,5，且f x在区间 1,4上的最大值12. （1 ）求f x的解析式；实数根？若存在，求出所有 m的值；若不存在，请说明理由。解:（1） y 2x 10x x R3 22x 10x 37画图分析:进而检验，知h（3） 0,h（ ） 0,h（4） 0,所以存在实数 m 3使得f x 0在区间3x3,4有且只有两个不等的实数根。点评：本题关键是构造了函数 hx 2x3 10x2 37，舍弃了原函数中分母 X,问题得到了简化。变式练习：设函数f x x 6x 5, x R，求已知当x 1, 时，f x k

5、x 1 恒成立，数k的取值围。24 已知函数 f （x） 1x2 alnx（a R）.（I）求函数f （x）的单调区间;1 2 （n）求证：x 时,2x lnx数f （x）的单调递减区间为（0, a）.Q 当x 1 时，g（x） （x 1）（汰 x 0,lnx 2x3。（I）（n）求f （x）的单调增区间;（出）a 1时，在区间1 ,+ g）上，函数f （x）的图象总在函数g （x） 彳x3的图象的下方.（I ）当 a 1 时，f （x） x，x 1,e 时，f （x） 0，故 f（x）在1，e上是增函数.1 1.f （x ）maX = f （e ） = 1e2 + 1 ； f （x ）min

6、 = f （1 ） = 1为（0, ） ； a0时，增区间为（0,J）。 a（III ）设 F （x ） = x2 + lnx x3，则 F （x ） = x +2 3 1，二F （x ） V 0，故F （x ）在1 , +門上是减函数,1 c 2 （1 x）（1 x 2x2） -2x 2 = . 又 F （1） = - V 0，二在1 , + 6X上，有 F （x ） V 0,即一 x2 + lnx V x3故函数f （x ）的图象在函数g（x）=x3的图象的下方.（2 ）抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题:设g xn mx -2ln x.（1）0恒成立；（2）试讨论关于x的方程mxx

7、2extx根的个数。解证：（1） m n（2）方程 mx g x3 x2ex2tx,从而2ln x x3 2ex2 tx因为x0,所以方程可变为2ln xx2 2ext.例：已知函数f x n lnx的图像在点P（m, f m ）处的切线方程为 y x,2l nxc 1ln x令LH x x 2ex t，得：L x20,e 时，L x 0, L x在0, e上为增函数；当x e, 时，Lx 0, L x在x e, 上为减函数;当 x e 时，L x max L（e），e2 2 . 2又 H x x 2 ex t x e t e ,所以函数L x , H x在同一坐标系的大致图像如图所示2 2

8、2-时，方程无解；时，方程一解；-时，方程有2个根。当t e2 ,即t e22当t e ,即t e3当t e ,即t e一次函数，二次函数，指对数函数，幕函数，简单的分式根式函数，绝对值函数的图象力求清晰准确， 一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体， 如果适当分解和调配就一定能找到问题解决的突破口，使问题简单化明确化。v - v i 或kV-时，方程f（t）-k=0 有且只有一解;当k= 或k=- 时，方程f（t）-k=0 有两解；（3）当-一 vk v 时,方程f（t）-k=0 有三解.【点晴】导数的应用为作函数的草图提供了新途径，方程根的个数与极值的正负有关。（3 ）复合函数问题一定要坚持定义域优先的原则，抓住函数的复合过程能够逐层分解。