八年级数学上册第二章实数知识点总结练习Word格式文档下载.docx

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带根号的数不一定是无理数，如：

无理数也不一定带根号，如：

）

3.有理数与无理数的区别：

（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；

（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例：

（1）下列各数：

①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；

是无理数的有＿＿＿。

（填序号）

（2）有五个数:

0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有（）个

【算术平方根】：

如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：

“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。

例如32=9，那么9的算术平方根是3，即。

特别规地，0的算术平方根是0，即，负数没有算术平方根

2.算术平方根具有双重非负性：

（1）若有意义，则被开方数a是非负数。

（2）算术平方根本身是非负数。

3.算术平方根与平方根的关系：

算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：

；

而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：

。

（1）下列说法正确的是（）

A．1的立方根是；

B．；

（C）、的平方根是；

（D）、0没有平方根；

（2）下列各式正确的是（）

A、B、C、D、

（3）的算术平方根是。

（4）若有意义，则___________。

（5）已知△ABC的三边分别是且满足，求c的取值范围。

（6）（提高题）如果x、y分别是4－的整数部分和小数部分。

求x－y的值.

平方根：

如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根；

，我们称x是a的平方（也叫二次方根），记做：

2.性质：

（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；

（2）0只有一个平方根，它是0本身；

（3）负数没有平方根

例

（1）若的平方根是±

2，则x=　；

的平方根是

（2）当x时，有意义。

（3）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？

这个正数是多少？

3.

（1）

（2）中，a可以取任意实数。

如

1.求下列各式的值

（1）

（2）（3）

2.已知，那么a的取值范围是　。

3.已知2＜x＜3,化简　。

【立方根】

一般地，如果以个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）记为，读作，3次根号a。

如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。

正数的立方根的正数；

0的立方根是0；

负数的立方根是负数。

立方根是它本身的数有0,1，-1.

（1）64的立方根是 

（2）若，则b等于 

（3）下列说法中：

①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。

其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个

比较两个数的大小：

方法一：

估算法。

如3＜＜4方法二：

作差法。

如a＞b则a-b＞0.

方法三：

乘方法.如比较的大小。

比较下列两数的大小

（1）

（2）

【实数】

定义：

（1）有理数与无理数统称为实数。

在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；

绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。

（2）实数也可以分为正实数、0负实数。

实数的性质：

实数a的相反数是-a；

实数a的倒数是（a≠0）；

实数a的绝对值|a|=，它的几何意义是：

在数轴上的点到原点的距离。

实数的大小比较法则：

实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：

即正数大于0，0大于负数；

正数大于负数；

两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。

（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。

对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

实数的运算：

在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。

运算法则和运算顺序与有理数的一

实数与数轴的关系：

每个实数与数轴上的点是一一对应的

（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。

（2）数轴上的每个点都表示已个实数。

（1）下列说法正确的是（）；

A、任何有理数均可用分数形式表示；

B、数轴上的点与有理数一一对应；

C、1和2之间的无理数只有；

D、不带根号的数都是有理数。

（2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是（）

（3）比较大小（填“>

”或“<

”）.

3，，，，

（4）数的大小关系是（）

A.B.C.D.

（5）将下列各数：

，用“＜”连接起来；

______________________________________。

（6）若，且，则：

=。

【二次根式】

形如的式子叫做二次根式，a叫做被开方数

注意：

（1）从形式上看二次根式必须有二次根号“”，如是二次根式，而=3,3显然就不是二次根式。

（2）被开方数a可以是数，也可以是代数式。

若a是数，则这个数必须是非负数；

若a是代数式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则没有意义。

下列根式是否为二次根式

（1）

（2）（3）（4）

二次根式的性质：

性质1：

积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质也可以对二次根式进行化简。

性质2：

商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。

最简二次根式：

被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。

1.化简：

（1）

（2）（3）

2.计算：

3.已知：

，求代数式的值。

6.（提高题）观察下列等式：

回答问题：

①②

③，……

（1）根据上面三个等式的信息，请猜想的结果；

（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式，并加以验证。

课后练习

一、重点考查题型：

1.－1的相反数的倒数是　　　　　2.已知｜a+3|+＝0，则实数（a+b）的相反数　　　　　

3.数－3．14与－Л的大小关系是　　　　　4.和数轴上的点成一一对应关系的是　　　　　　

5.和数轴上表示数－3的点A距离等于2．5的B所表示的数是　　　　　　

6.在实数中Л,－,0,,－3．14,无理数有　　　个

7．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（　　）

（A）非负数　　（B）非正数　　（C）负数　　（D）正数

8．若x＜－3，则｜x＋3｜=　　　。

9．下列说法正确是（　　）

（A）有理数都是实数（B）实数都是有理数

（B）带根号的数都是无理数　（D）无理数都是开方开不尽的数

10．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：

（1）c-b和d-a

（2）bc和ad

二、考点训练：

*1．判断题：

（1）如果a为实数，那么－a一定是负数；

（　）

（2）对于任何实数a与b,|a－b|=|b－a|恒成立；

（3）两个无理数之和一定是无理数；

（4）两个无理数之积不一定是无理数；

（5）任何有理数都有倒数；

（　）　

　（6）最小的负数是－1；

（7）a的相反数的绝对值是它本身；

（8）若|a|=2,|b|=3且ab>

0，则a－b=－1；

2．把下列各数分别填入相应的集合里

－|－3|，21．3，－1．234，－,0，－,－,－,,（－）0，3－2，ctg45°

1.2121121112．．．．．．中

无理数集合｛　　　｝　　负分数集合｛　　　　　　　　｝

整数集合｛　　　　　　　　｝　非负数集合｛　　　　　　　　｝

*3．已知1<

x<

2，则|x－3|+=　　　。

4．下列各数中，哪些互为相反数？

哪些互为倒数？

哪些互为负倒数？

－3,－1，3，－0．3，3－1，1+，3

互为相反数：

互为倒数：

互为负倒数：

*5．已知ｘ、ｙ是实数，且（X－）2和｜ｙ＋2｜互为相反数，求ｘ，y的值　

6.ａ,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2，

求+4m-3cd=。

*7．已知＝0，求ａ＋ｂ=。

三、解题指导：

1．下列语句正确的是（　　）

A、无尽小数都是无理数　B、无理数都是无尽小数

C、带拫号的数都是无理数　D、不带拫号的数一定不是无理数。

2．和数轴上的点一一对应的数是（　　　）

A、整数　B、有理数　C、无理数　　D、实数

2．零是（　　　）

A、最小的有理数B、绝对值最小的实数　C、最小的自然数　D、最小的整数

4.如果a是实数，下列四种说法：

（1）ａ2和｜ａ｜都是正数，

（2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，

（3）ａ的倒数是，（4）ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，几个是正确的有个

*5．比较下列各组数的大小：

（1）　

（2）a<

b<

0时,　

6．若a,b满足=0,则的值是

*7．实数a,b,c在数轴上的对应点如图，其中O是原点，且|a|=|c|

（1）判定a+b,a+c,c-b的符号

（2）化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|

*8．数轴上点A表示数－1，若AB＝3，则点B所表示的数为

9．已知x<

0,y>

0，且y<

|x|，用"

<

"

连结x，－x，－|y|，y。

10．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？

11．绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？

12．把下列语句译成式子：

（1）a是负数　　；

（2）a、b两数异号　　；

（3）a、b互为相反数　　　　；

（4）a、b互为倒数　　　　；

（5）x与y的平方和是非负数　　　　　；

（6）c、d两数中至少有一个为零　　　；

（7）a、b两数均不为0　　　　　。

*13.数轴上作出表示，，－的点。

四．独立训练：

1．0的相反数是　　，3－л的相反数是　　，的相反数是　　　；

－л的绝对值是　　　，0　的绝对值是　　，－的倒数是　　　　　　

2．数轴上表示－3．2的点它离开原点的距离是　　　。

A表示的数是－，且AB＝，则点B表示的数是　　　　。

3　－,л,（1－）º

－,0．1313…,2cos60º

－3－1,1．101001000…

（两1之间依次多一个0）,其中无理数有　　　，整数有　　　，负数有　　　。

4.若a的相反数是27，则｜a|＝；

5．若|a|＝，则a=

5．若实数x，y满足等式（x＋3）2＋｜4－y｜＝0，则x＋y的值是

6．实数可分为（　　　）A、正数和零B、有理数和无理数C、负数和零D、正数和