高一数学必修一各章知识点总结技巧解答Word下载.docx
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N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
1）列举法：
{a,b,c……}
2）描述法：
将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{xR|x-3>
2},{x|x-3>
2}
3）语言描述法：
例：
{不是直角三角形的三角形}
4）Venn图:
4、集合的分类：
（1）有限集含有有限个元素的集合
（2）无限集含有无限个元素的集合
（3）空集不含任何元素的集合 例：
{x|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：
有两种可能
（1）A是B的一部分，；
（2）A与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
B或B
A
2．“相等”关系：
A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）
实例：
设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”
即：
①任何一个集合是它本身的子集。
AA
②真子集:
如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作A
B（或B
A）
③如果AB,BC,那么AC
④如果AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型
交集
并集
补集
定义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A
B（读作‘A交B’），即A
B=｛x|x
A，且x
B｝．
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：
B（读作‘A并B’），即A
B={x|x
A，或x
B}）．
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
记作
，即
CSA=
韦
恩
图
示
性
质
A=A
Φ=Φ
B=B
B
A
A=A
Φ=A
Ａ
（CuA）
（CuB）
=Cu（A
B）
=Cu（A
（CuA）=U
（CuA）=Φ．
例题：
1.下列四组对象，能构成集合的是（）
A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数
2.集合{a，b，c}的真子集共有个
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x
R},N={x|x≥0}，则M与N的关系是.
4.设集合A=
，B=
，若A
B，则
的取值范围是
5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，
两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。
6.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=.
7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值
二、函数的有关概念
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：
A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：
y=f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．
1．定义域：
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
（1）分式的分母不等于零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零；
（3）对数式的真数必须大于零；
（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
（6）指数为零底不可以等于零，
（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
◆相同函数的判断方法：
①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；
②定义域一致（两点必须同时具备）
（见课本21页相关例2）
2．值域:
先考虑其定义域
（1）观察法
（2）配方法
（3）代换法
3.函数图象知识归纳
（1）定义：
在平面直角坐标系中，以函数y=f（x）,（x∈A）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x，y）的集合C，叫做函数y=f（x）,（x∈A）的图象．C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y），均在C上.
（2）画法
A、描点法：
B、图象变换法
常用变换方法有三种
1）平移变换
2）伸缩变换
3）对称变换
4．区间的概念
（1）区间的分类：
开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．
5．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：
B为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f（对应关系）：
A（原象）
B（象）”
对于映射f：
A→B来说，则应满足：
（1）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
（2）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
（3）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
（2）各部分的自变量的取值情况．
（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
补充：
复合函数
如果y=f（u）（u∈M）,u=g（x）（x∈A）,则y=f[g（x）]=F（x）（x∈A）称为f、g的复合函数。
二．函数的性质
1.函数的单调性（局部性质）
（1）增函数
设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<
x2时，都有f（x1）<
f（x2），那么就说f（x）在区间D上是增函数.区间D称为y=f（x）的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<
x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数.区间D称为y=f（x）的单调减区间.
函数的单调性是函数的局部性质；
（2）图象的特点
如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
（3）.函数单调区间与单调性的判定方法
（A）定义法：
任取x1，x2∈D，且x1<
x2；
作差f（x1）－f（x2）；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；
下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）．
（B）图象法（从图象上看升降）
（C）复合函数的单调性
复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律：
“同增异减”
函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=—f（x），那么f（x）就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；
奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
确定f（－x）与f（x）的关系；
作出相应结论：
若f（－x）=f（x）或f（－x）－f（x）=0，则f（x）是偶函数；
若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数．
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，
（1）再根据定义判定;
（2）由f（-x）±
f（x）=0或f（x）／f（-x）=±
1来判定;
（3）利用定理，或借助函数的图象判定.
9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1）凑配法
2）待定系数法
3）换元法
4）消参法
10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
利用图象求函数的最大（小）值
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）；
1.求下列函数的定义域：
⑴
⑵
2.设函数
的定义域为
，则函数
的定义域为__
3.若函数
的定义域是
4.函数
，若
，则
=
5.求下列函数的值域：
⑵
（3）
（4）
6.已知函数
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