数学物理方法考题汇总Word下载.docx

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⑤（多空介质方程）:

（2阶非线性齐次）

三．简述二阶线性偏微分方程的分类方法，P24（9）

对方程

（1）：

双曲线型

（2）：

椭圆型

四．何谓发展方程？

何谓位势方程？

何谓叠加原理？

（1）发展方程:

所描述的物理过程随时间而演变,如:

波动方程、热传导方程等；

（2）位势方程：

所描述的自然现象是稳恒的，即与时间无关，如：

静电场、引力场等。

（3）几种不同原因综合产生的效果等于这些原因单独产生效果的累加.叠加原理适用于线性方程所描述的物理现象.

五．试推导一维波动方程。

（1）设表示弦上x点在时刻t沿垂直于x方向的位移

（2）弦上任取一小段

2.基本假设

（1）弦为曲线,线密度为常数

（2）弦在一平面内作微小振动

（3）Hooke定律

3.方程的建立

（1）弧长:

（2）受力分析：

X轴方向:

T2conθ2—T1conθ1=0（T2=T1=T）

Y轴方向:

作用在M点的张力T，在y轴方向的分力为

作用在N点的张力T，在y轴方向的分力为

作用在NM点上，垂直于x轴外力为

（3）Newton第二定律

弦作微小振动时,变形很小,与1相比可忽略不计:

（4）弦强迫横振动方程:

（5）弦的自由振动方程：

六．简述泛定方程、定解条件、定解问题、偏微分方程古典解、定解问题的适定性的基本概念

1.泛定方程:

描述某些物理运动或社会现象变化的普遍规律的微分方程

2.定解条件:

微分方程满足的特定条件称为定解条件,常见的定解条件有初始条件和边界条件。

3.定解问题:

一个微分方程（组）和相应的定解条件合在一起就构成了一个定解问题.

4.古典解：

如果存在一个函数,具有所需要的各种连续偏导数,将它们代入方程时能使方程成为恒等式,则称该函数为该方程的（古典解）解。

5.定解问题的适定性：

存在性、唯一性、稳定性的统称

（1）解的存在性:

所给定的定解问题至少存在一个解

（2）解的唯一性:

所给定的定解问题至多存在一个解

（3）解的问题性:

当给定条件以及方程中的系数有微小变动时,相应的解也只有微小的变动.

七．教材（P23）1.4习题1

解：

设t时刻弦上x点处位移为，弦的线密度为ρ,

根据动量守恒定律可知：

则定解问题为：

八．教材（P23）1.4习题3

设：

t时刻弦上x点处位移为；

均匀细杆的原长为l，x=l端自由，即应力为0，

∴

九．教材（P23）1.4习题4

解：

设t时刻杆上x点处温度为：

根据傅里叶定律可知：

t时刻x处单位时间内沿x轴方向通过横截面单位面积的热量q（x,t）与温度的下降率成正比，即：

第二章：

复习思考题与作业

一．何谓波动方程的特征值与特征函数、何谓Sturm-Liouville问题？

P（26）

二．简述三角函数系的正交性。

1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…cosnx，sinnx，构成了一个三角函数系,其中任意两个不同的函数的乘积在[-π,π]上的积分必为零.

三．用变量分离法求解齐次线性偏微分方程定解问题的基本步骤。

1.思路：

（1）放弃先求通解，再找特解的办法（放弃普通微分方程的解法）

（2）直接探求满足定解条件的特解

（3）求解偏微分方程→分离变量→化成求解常微分方程

（4）启示:

机械的、电磁的振动，总可分解为具有各种频率和振幅的简谐振动的叠加，而每个简谐振动具有形式：

，该函数具有变量分离的形式

2.具体步骤：

P33

四．简述付氏解的物理意义。

1.傅氏解的表达形式

2.傅氏解的化简:

3.分析:

（1）先固定时间t,看看在任意指定时刻波的形状;

当时间取定t0时:

表明:

波u（x,t）在任意时刻的形状是正弦曲线,只是振幅

随着时间的改变而改变.

（2）然后固定弦上一点,看看该点的振动规律.

1弦上x点作表示一种谐和振动,振幅为:

2弦上各点的园频率、初相位都相同

3节点：

点在任何时刻都使，这些点称为节点，说明是分段振动的.

4驻波:

有节点的振动波

5腹点:

点在任何时刻都使都是振幅达到最大值,称为腹点

4.基波与谐波:

（1）由于解为:

，因此是由无穷多个振幅、频率、初相不相同的驻波叠加而成。

（2）在所有驻波频率：

（3）固有频率：

园频率与初始条件无关,只与弦的长度、密度成反比，和张力的平方根成正比

五．求解2.1.2（P30）

六．P65:

2.7习题1

第三章复习与思考题

一．推导一维热传导方程

1.问题：

（1）考察一根均匀细杆内热量传播的过程

（2）热量沿x轴一维传播,侧面绝热

（3）设表示x点在时刻t的温度

2方程的建立

（1）分析：

考察在时间间隔t到Δt内,细杆上x到x+Δx微元段的热量流动情况

（2）热平衡方程式:

①引起温度变化所吸收的热量ΔQ=流入的热量ΔQ’

②在时间Δt内微元段的温度升高为:

③升高上述温度所需的热量:

④热传导Fourier实验定律:

流入微元段的热量:

流出微元段热量:

留在微元段的热量:

利用热量平衡方程得：

二．简述与热传导方程相似的物理问题

1.海底电缆电压方程

2.导电线圈在所围柱体内的磁场方程

3.扩散物质的浓度方程

三．何谓Poisson方程和Laplace方程，何谓位势方程？

1.热传导中温度分布稳定时所满足的方程为Poisson方程：

2.特别地f=0时为Laplace方程：

3.Poisson方程和Laplace方程统称为位势方程

四．解2.2.1（P38）

五．解2.2.2（P39）：

求解细杆导热问题，杆长为L，两端保持为零度，初始温度分布为：

六P66习题（4）（?

）

第4章Fourier变换

1.何谓傅氏变换？

简述其物理意义。

（1）若f（x）满足傅氏积分定理条件，则称表达式

为f（x）Fourier变换

（2）物理意义：

2.简述Fourier变换求解偏微分方程的基本步骤

（1）根据自变量的变化范围及定解条件的情形,确定关于那个变量作变换,对方程两边施以Fourier变换,使偏微分方程转化为关于未知函数的Fourier变换（像函数）的常微分方程

（2）对定解条件进行相应的变换,导出常微分方程的定解条件

（3）解常微分方程定解问题,求得原定解问题解的像函数

（4）对所得像函数进行逆变换,得偏微分方程定解问题形式解

（5）必要时,验证在一定条件下,形式解就是所求问题的古典解

3.推导无限长弦的d’Alembert公式

（1）

（2）对方程两边关于x作Fourier变换

（3）求特征方程、特征值

（4）代入初值条件，求得常微分方程的解

（5）作关于λ的Fourier逆变换

（6）求得原偏微分方程的解（无限长弦的d’Alembert公式）

4.试用Fourier变换求解波动方程的Cauchy问题

书P79例3.2.2（同上一题）

5.求解热传导方程的初值问题：

书93页习题3.6：

（6）

第5章Laplace变换

1.简述Laplace变换及存在定理

（1）若f（x）在[0,+∞]上有定义，对于复数p,则称表达式

为f（x）Laplace变换

（2）P81

2.简述Laplace变换求解偏微分方程的基本步骤

（1）根据自变量的变化范围及定解条件的情形,确定关于那个变量作变换,对方程两边施以Laplace变换,使偏微分方程转化为关于未知函数的Laplace变换（像函数）的常微分方程

（2）对定解条件进行相应的变换,导出代数方程或常微分方程的定解条件

3.用Laplace积分变换法求解下列定解问题:

书93页习题3.6：

（12）

第六章数学物理方程的差分解法

1.试写出导数的前差、后差和中央差商近似差分格式。

2.写出的中央差分格式

3.写出二维Laplace方程的差分方程

4.写出一维波动方程的差分格式

5.设区域Ω是边长为1,中心在原点的正方形,用差分解法（取步长h=0.1）求Laplace方程的解的第一次近似值Ui,j:

（取零次近似值为,采用同步迭代法）

6.用差分方法求下列定解问题的近似解