两点间距离公式10页wordWord格式文档下载.docx
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∴|
|=
.
2.线段的定比分点是研究共线的三点P1，P，P2坐标间的关系.应注意：
（1）点P是不同于P1，P2的直线P1P2上的点；
（2）实数λ是P分有向线段
所成的比，即P1→P，P→P2的顺序，不能搞错；
（3）定比分点的坐标公式
（λ≠－1）.
3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，
特别提示
1.定比分点的定义：
点P为
所成的比为λ，用数学符号表达即为
=λ
.当λ＞0时，P为内分点；
λ＜0时，P为外分点.
2.定比分点的向量表达式：
P点分
成的比为λ，则
=
+
（O为平面内任一点）.
3.定比分点的应用：
利用定比分点可证共线问题.
●点击双基
1.（2019年东北三校联考题）若将函数y=f（x）的图象按向量a平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为
A.y=f（x+1）－2B.y=f（x－1）－2
C.y=f（x－1）+2D.y=f（x+1）+2
解析：
由平移公式得a=（1，2），则平移后的图象的解析式为y=f（x－1）+2.
答案：
C
2.（2019年湖北八校第二次联考）将抛物线y2=4x沿向量a平移得到抛物线y2－4y=4x，则向量a为
A.（－1，2）B.（1，－2）
C.（－4，2）D.（4，－2）
设a=（h，k），由平移公式得
代入y2=4x得
（
－k）2=4（
－h），
2－2k
=4
－4h－k2，
即y2－2ky=4x－4h－k2，
∴k=2，h=－1.
∴a=（－1，2）.
A
思考讨论
本题不用平移公式代入配方可以吗?
提示：
由y2－4y=4x，配方得
（y－2）2=4（x+1），
∴h=－1，k=2.（知道为什么吗?
）
3.设A、B、C三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A点分
所得的比为
A.
B.
C.－
D.－
设A点分
所得的比为λ，则由2=
，得λ=－
4.若点P分
所成的比是λ（λ≠0），则点A分
所成的比是____________.
∵
，∴
=λ（－
）.∴（1+λ）
∴
.∴
=－
－
5.（理）若△ABC的三边的中点坐标为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），则△ABC的重心坐标为____________.
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
则
∴
∴重心坐标为（－
，
）.
（－
（文）已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7与线段M1M2的交点M分有向线段
的比为3∶2，则m的值为____________.
设M（x，y），则x=
=3，y=
=5，即M（3，5），代入y=mx－7得5=3m－7，∴m=4.
4
●典例剖析
【例1】已知点A（－1，6）和B（3，0），在直线AB上求一点P，使|
|
|.
剖析：
|，则
或
.设出P（x，y），向量转化为坐标运算即可.
解：
设P的坐标为（x，y），若
，则由（x+1，y－6）=
（4，－6），得
解得
此时P点坐标为（
，4）.
若
，则由（x+1，y－6）=－
（4，－6）得
∴P（－
，8）.综上所述，P（
，4）或（－
，8）.
深化拓展
本题亦可转化为定比分点处理.由
，得
，则P为
的定比分点，λ=
，代入公式即可；
，则
的定比分点，λ=－
由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法.
【例2】已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，1），B（3，4），C（－1，2），BD是∠ABC的平分线，求点D的坐标及BD的长.
∵A、C两点坐标为已知，∴要求点D的坐标，只要能求出D分
所成的比即可.
∵|BC|=2
，|AB|=
，∴D分
所成的比λ=
由定比分点坐标公式，得
∴D点坐标为（9－5
∴|BD|=
评述：
本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化.
本题也可用如下解法：
设D（x，y），∵BD是∠ABC的平分线，
∴〈
〉=〈
〉.
即
又
=（1，－3），
=（x－3，y－4），
=（－4，－2），
∴（4+
）x+（2－3
）y+9
－20=0.①
又A、D、C三点共线，∴
共线.
=（x－4，y－1），
=（x+1，y－2），
∴（x－4）（y－2）=（x+1）（y－1）.②
由①②可解得
），|BD|=
若BD是AC边上的高，或BD把△ABC分成面积相等的两部分，本题又如何求解?
请读者思考.
【例3】已知在□ABCD中，点A（1，1），B（2，3），CD的中点为E（4，1），将
□ABCD按向量a平移，使C点移到原点O.
（1）求向量a；
（2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.
（1）由□ABCD可得
设C（x3，y3），D（x4，y4），
又CD的中点为E（4，1），
由①－④得
即C（
，2），D（
，0）.
∴a=（－
，－2）.
（2）由平移公式得A′（－
，－1），B′（－
，1），C′（0，0），D′（－1，－2）.
●闯关训练
夯实基础
1.（2019年福州质量检查题）将函数y=sinx按向量a=（－
，3）平移后的函数解析式为
A.y=sin（x－
）+3B.y=sin（x－
）－3
C.y=sin（x+
）+3D.y=sin（x+
由
得
－3=sin（
=sin（
）+3，
即y=sin（x+
）+3.
2.（2019年河南调研题）将函数y=2sin2x的图象按向量a平移，得到函数y=2sin（2x+
）+1的图象，则a等于
A.（－
，1）B.（－
，1）
C.（
，－1）D.（
由y=2sin（2x+
）+1得y=2sin2（x+
）+1，∴a=（－
，1）.
B
3.（2019年东城区模拟题）已知点P是抛物线y=2x2+1上的动点，定点A（0，－1），若点M分
所成的比为2，则点M的轨迹方程是____________，它的焦点坐标是____________.
设P（x0，y0），M（x，y）.
代入y0=2x02+1得3y+2=18x2+1，即18x2=3y+1，x2=
y+
（y+
），∴p=
，焦点坐标为（0，－
x2=
）（0，－
4.把函数y=2x2－4x+5的图象按向量a平移后，得到y=2x2的图象，且a⊥b，c=（1，－1），b·
c=4，则b=____________.
a=（0，0）－（1，3）=（－1，－3）.设b=（x，y），由题意得
则b=（3，－1）.
（3，－1）
5.已知向量
=（3，1），
=（－1，2），
⊥
∥
.试求满足
的
的坐标.
设
=（x，y），则
=（x，y）+（3，1）=（x+3，y+1），
=（x+3，y+1）－（－1，2）=（x+4，y－1），
所以
=（11，6）.
6.已知A（2，3），B（－1，5），且满足
=3
，求C、D、E的坐标.
用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解.C（1，
），D（－7，9），E（
培养能力
7.（2019年福建，17）设函数f（x）=a·
b，其中a=（2cosx，1），b=（cosx，
sin2x），x∈R.
（1）若f（x）=1－
，且x∈［－
］，求x；
（2）若y=2sin2x的图象按向量c=（m，n）（|m|＜
）平移后得到函数y=f（x）的图象，求实数m、n的值.
（1）依题设f（x）=2cos2x+
sin2x=1+2sin（2x+
），
由1+2sin（2x+
）=1－
sin（2x+
）=－
∵|x|≤
，∴－
≤2x+
≤
∴2x+
，即x=－
（2）函数y=2sin2x的图象按向量c=（m，n）平移后得到函数y=2sin2（x－m）+n的图象，即y=f（x）的图象.由
（1）得f（x）=2sin2（x+
）+1.又|m|＜
，∴m=－
，n=1.
8.有点难度哟！
（2019年广州综合测试）已知曲线x2+2y2+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过点D（0，2）的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设
，求实数λ的取值范围.
（1）原曲线即为（x+2）2+2（y+1）2=2
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