直线与圆的位置关系讲义学生版.doc

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直线与圆的位置关系

（1）

中考要求

板块

考试要求

A级要求

B级要求

C级要求

直线与圆的位置关系

了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线

能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题

能解决与切线有关的问题

切线长

了解切线长的概念

会根据切线长知识解决简单问题

知识点睛

一、直线与圆的位置关系

设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：

位置关系

图形

定义

性质及判定

相离

直线与圆没有公共点．

直线与相离

相切

直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．

直线与相切

相交

直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线．

直线与相交

二、切线的性质及判定

1.切线的性质

（1）定理：

圆的切线垂直于过切点的半径．

推论1：

经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

推论2：

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（2）注意：

这个定理共有三个条件，即一条直线满足：

①垂直于切线②过切点③过圆心

①过圆心，过切点垂直于切线．过圆心，过切点，则．

②过圆心，垂直于切线过切点．过圆心，，则过切点．

③过切点，垂直于切线过圆心．，过切点，则过圆心．

2.切线的判定

（1）定义法：

和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

（2）距离法：

和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

（3）定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

注意：

定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：

①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．

3.切线长和切线长定理

（1）切线长：

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

（2）切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

三、三角形的内切圆

1.三角形的内切圆：

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．

2.多边形的内切圆：

和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．

3.直角三角形内切圆的半径与三边的关系

设、、分别为中、、的对边，面积为，则内切圆半径为，其中．若，则．

例题精讲

一、直线与圆位置关系的确定

【例1】如图，已知⊙是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与⊙有公共点，设，则的取值范围是

A．≤≤ B．≤≤

C．－1≤≤1 D．＞

【例2】中，，，，给出下列三个结论：

①以点为圆心，3cm长为半径的圆与相离；②以点为圆心，4cm长为半径的圆与相切；③以点为圆心，5cm长为半径的圆与相交．上述结论中正确的个数是（）

A．0个B．l个C．2个D．3个

【巩固】在中，，，，以点为圆心，为半径的圆和有怎样的位置关系？

为什么？

⑴；⑵；⑶．

【例3】如下左图，在直角梯形中，，，且，是的直径，则直线与的位置关系为（）

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定

【巩固】如图，是半圆的直径，点是半圆上的一点，过点作的切线，，，，那么直线与以点为圆心，为半径的圆的位置关系是．

二、切线的性质及判定

【例4】已知：

为平分线上一点，于，以为圆心．以为半径作圆．求证：

与相切．

【巩固】如图，为等腰三角形，，是底边的中点，与腰相切于点，求证与相切．

【例5】已知：

如图，内接于，是过的一条射线，且．求证：

是的切线．

【巩固】已知：

如图，是的直径，为上一点，过点，于，平分．求证：

为的切线．

【例6】如下图所示，以的直角边为直径作半圆，交斜边于，交于，⑴求证：

是的切线；

【巩固】如下图所示，以的直角边为直径作半圆，交斜边于，交于，求证：

是的切线．

【例7】如图，已知是的半径，是中点，，是延长线上一点，且．求证：

是的切线．

【巩固】如图，是的直径，点在圆上，于．在延长线上，且．求证：

是的切线．

【例8】如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B．

（1）求证：

AD是⊙O的切线．

（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长．

【例9】如图，以等腰中的腰为直径作，交于点．过点作，垂足为．

（1）求证：

为的切线；

（2）若的半径为5，，求的长．

【例10】如图，是的外接圆，，点是圆外一点，切于点，且．

（1）求证：

是的切线．

（2）已知，求的半径．

【例11】如图，为的直径，是的中点，交的延长线于，的切线交的延长线于点．

（1）求证：

是的切线；

（2）若，的半径为，求的长．

【例12】已知，如图在矩形中，点在对角线上，以长为半径的圆与分别交于点，．

（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；

（2）若，求的半径．

【巩固】如图，已知是正方形对角线上一点，以为圆心、长为半径的与相切于，与、分别相交于、．

（1）求证：

与相切．

（2）若正方形的边长为，求的半径．

【例13】已知：

在中，是直径，是弦，于点，过点作直线，使，交的延长线于点．

（1）求证：

是的切线；

（2）设与相交于点，若，求半径的长；

（3）在

（2）的条件下，当时，求图中阴影部分的面积．

【例14】如图，，以为直径的交于点，过作，垂足为．

（1）求证：

是的切线；

（2）作交于，垂足为，若，求弦的长．

【巩固】如图，在中，，以为直径的与交于点，过作，交的延长线于，垂足为．

（1）求证：

直线是的切线；

（2）当时，求的值．

【例15】如图，中，，以为直径作交边于点，是边的中点，连接．

（1）求证：

直线是的切线；

（2）连接交于点，若，求的值．

【巩固】如图，为的直径，是外一点，交于点，过点作的切线，交于点，，作于点，交于点．

（1）求证：

是的切线；

（2）．

【巩固】如图，是的的直径，于点，连接交于点，弦，弦于点．

（1）求证：

点是的中点；

（2）求证：

是的切线；

（3）若，的半径为，求的长．

【例16】如图，是的直径，，是上一点，过作的垂线交于点，交的延长线于点，直线交于点，且．

（1）证明是的切线；

（2）设的半径为，且，求的长．

【巩固】如图，是以为直径的上一点，于点，过点作的切线，与的延长线相交于点是的中点，连结并延长与相交于点，延长与的延长线相交于点．

（1）求证：

；

（2）求证：

是的切线；

（3）若，且的半径长为，求和的长度．

课后作业

1.已知，点在的平分线上，，以为圆心3cm为半径作圆，则与的位置关系是________．

2.如图，半径为的切直线于，，则的度数是．

3.如图所示在中，，的平分线交于，为上一点，，以为圆心，以的长为半径画圆．求证：

（1）是的切线；

（2）．

4.已知：

如图，为上一点，交于，连结，且．求证：

（1）为的切线；

（2）．

5.如图，四边形内接于，是的直径，，垂足为，平分．

（1）求证：

是的切线；

（2）若，求的长．

6.如图，等腰三角形中，，．以为直径作交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．

（1）求证：

直线是的切线；

（2）求的值．

7.如图，在以为圆心的两个同心圆中，经过圆心，且与小圆相交于点、与大圆相交于点．小圆的切线与大圆相交于点，且平分．

⑴试判断所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；

⑵试判断线段之间的数量关系，并说明理由；

⑶若，求大圆与小圆围成的圆环的面积．

15.3.1直线与圆的位置关系 讲义·学生版 Page12of12