离散数学期末考试题及答案.docx

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离散数学期末考试题及答案

离散数学试题（B卷答案1）

一、证明题（10分）

1）（P∧（Q∧R））∨（Q∧R）∨（P∧R）R

证明:

左端（P∧Q∧R）∨（（Q∨P）∧R）

（（P∧Q）∧R））∨（（Q∨P）∧R）

（（P∨Q）∧R）∨（（Q∨P）∧R）

（（P∨Q）∨（Q∨P））∧R

（（P∨Q）∨（P∨Q））∧R

T∧R（置换）R

2）x（A（x）B（x））xA（x）xB（x）

证明：

x（A（x）B（x））x（A（x）∨B（x））

xA（x）∨xB（x）

xA（x）∨xB（x）

xA（x）xB（x）

二、求命题公式（P∨（Q∧R））（P∧Q∧R）的主析取范式和主合取范式（10分）。

证明：

（P∨（Q∧R））（P∧Q∧R）（P∨（Q∧R））∨（P∧Q∧R））

（P∧（Q∨R））∨（P∧Q∧R）

（P∧Q）∨（P∧R））∨（P∧Q∧R）

（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R））∨（P∧Q∧R））∨（P∧Q∧R）

m0∨m1∨m2∨m7

M3∨M4∨M5∨M6

三、推理证明题（10分）

1）C∨D，（C∨D）E，E（A∧B），（A∧B）（R∨S）R∨S

证明：

（1）（C∨D）EP

（2）E（A∧B）P

（3）（C∨D）（A∧B）T

（1）

（2），I

（4）（A∧B）（R∨S）P

（5）（C∨D）（R∨S）T（3）（4），I

（6）C∨DP

（7）R∨ST（5），I

2）x（P（x）Q（y）∧R（x）），xP（x）Q（y）∧x（P（x）∧R（x））

证明

（1）xP（x）P

（2）P（a）T

（1），ES

（3）x（P（x）Q（y）∧R（x））P

（4）P（a）Q（y）∧R（a）T（3），US

（5）Q（y）∧R（a）T

（2）（4），I

（6）Q（y）T（5），I

（7）R（a）T（5），I

（8）P（a）∧R（a）T

（2）（7），I

（9）x（P（x）∧R（x））T（8），EG

（10）Q（y）∧x（P（x）∧R（x））T（6）（9），I

四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。

而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数（10分）。

解：

A，B，C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。

则|A|=12，|B|=6，|C|=14，|A∩C|=6，|B∩C|=5，|A∩B∩C|=2。

先求|A∩B|。

∵6=|（A∪C）∩B|=|（A∩B）∪（B∩C）|=|（A∩B）|+|（B∩C）|-|A∩B∩C|=|（A∩B）|+5-2，∴|（A∩B）|=3。

于是|A∪B∪C|=12+6+14-6-5-3+2=20。

不会打这三种球的人数25-20=5。

五、已知A、B、C是三个集合，证明A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C）（10分）。

证明：

∵xA-（B∪C）xA∧x（B∪C）

xA∧（xB∧xC）

（xA∧xB）∧（xA∧xC）

x（A-B）∧x（A-C）

x（A-B）∩（A-C）

∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C）

六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：

R={|x，yN∧y=x2}，S={|x，yN∧y=x+1}。

求R-1、R*S、S*R、R{1，2}、S[{1，2}]（10分）。

解：

R-1={|x，yN∧y=x2}

R*S={|x，yN∧y=x2+1}

S*R={|x，yN∧y=（x+1）2}，R{1，2}={<1，1>，<2，4>}，S[{1，2}]={1，4}。

七、设R={，，}，求r（R）、s（R）和t（R）（15分）。

解：

r（R）={，，，，，}

s（R）={，，，，，}

R2=R5={，，}

R3={，，}

R4={，，}

t（R）={，，，，，，，，，}

八、证明整数集I上的模m同余关系R={|xy（modm）}是等价关系。

其中，xy（modm）的含义是x-y可以被m整除（15分）。

证明：

1）x∈I，因为（x-x）/m=0，所以xx（modm），即xRx。

2）x，y∈I，若xRy，则xy（modm），即（x-y）/m=k∈I，所以（y-x）/m=-k∈I，所以yx（modm），即yRx。

3）x，y，z∈I，若xRy，yRz，则（x-y）/m=u∈I，（y-z）/m=v∈I，于是（x-z）/m=（x-y+y-z）/m=u+v∈I，因此xRz。

九、若f:

A→B和g:

B→C是双射，则（gf）-1=f-1g-1（10分）。

证明：

因为f、g是双射，所以gf：

A→C是双射，所以gf有逆函数（gf）-1：

C→A。

同理可推f-1g-1：

C→A是双射。

因为∈f-1g-1存在z（∈g-1∈f-1）存在z（∈f∈g）∈gf∈（gf）-1，所以（gf）-1=f-1g-1。

离散数学试题（B卷答案2）

一、证明题（10分）

1）（（P∨Q）∧（P∧（Q∨R）））∨（P∧Q）∨（P∧R）T

证明:

左端（（P∨Q）∧（P∨（Q∧R）））∨（（P∨Q）∧（P∨R））（摩根律）

（（P∨Q）∧（P∨Q）∧（P∨R））∨（（P∨Q）∧（P∨R））（分配律）

（（P∨Q）∧（P∨R））∨（（P∨Q）∧（P∨R））（等幂律）

T（代入）

2）xy（P（x）Q（y））（xP（x）yQ（y））

证明：

xy（P（x）Q（y））xy（P（x）∨Q（y））

x（P（x）∨yQ（y））

xP（x）∨yQ（y）

xP（x）∨yQ（y）

（xP（x）yQ（y））

二、求命题公式（PQ）（P∨Q）的主析取范式和主合取范式（10分）

解：

（PQ）（P∨Q）（PQ）∨（P∨Q）

（P∨Q）∨（P∨Q）

（P∧Q）∨（P∨Q）

（P∨P∨Q）∧（Q∨P∨Q）

（P∨Q）

M1

m0∨m2∨m3

三、推理证明题（10分）

1）（P（QS））∧（R∨P）∧QRS

证明：

（1）R

（2）R∨P

（3）P

（4）P（QS）

（5）QS

（6）Q

（7）S

（8）RS

2）x（A（x）yB（y）），x（B（x）yC（y））xA（x）yC（y）。

证明：

（1）x（A（x）yB（y））P

（2）A（a）yB（y）T

（1），ES

（3）x（B（x）yC（y））P

（4）x（B（x）C（））T（3），ES

（5）B（）C（）T（4），US

（6）A（a）B（）T

（2），US

（7）A（a）C（）T（5）（6），I

（8）xA（x）C（）T（7），UG

（9）xA（x）yC（y）T（8），EG

四、只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。

所以，如果考试准时进行，那么天气就好（15分）。

解设P：

今天天气好，Q：

考试准时进行，A（e）：

e提前进入考场，个体域：

考生的集合，则命题可符号化为：

PxA（x），xA（x）QQP。

（1）PxA（x）P

（2）PxA（x）T

（1），E

（3）xA（x）PT

（2），E

（4）xA（x）QP

（5）（xA（x）Q）∧（QxA（x））T（4），E

（6）QxA（x）T（5），I

（7）QPT（6）（3），I

五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）（10分）

证明：

∵xA∩（B∪C）xA∧x（B∪C）xA∧（xB∨xC）（xA∧xB）∨（xA∧xC）x（A∩B）∨xA∩Cx（A∩B）∪（A∩C）∴A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）

六、A={x1,x2,x3}，B={y1,y2}，R={,,}，求其关系矩阵及关系图（10分）。

七、设R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>}，求r（R）、s（R）和t（R），并作出它们及R的关系图（15分）。

解：

r（R）={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,1>,<2,2>,

<3,3>,<4,4>,<5,5>}

s（R）={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,2>,<4,2>,<4,3>}

R2=R5={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>}

R3={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<5,4>}

R4={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>}

t（R）={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<2,2>,<5,1>,<5,4>,<5,5>}

八、设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠且B≠。

关系R满足：

<，>∈R∈R1且∈R2，证明R是A×B上的等价关系（10分）。

证明对任意的∈A×B，由R1是A上的等价关系可得∈R1，由R2是B上的等价关系可得∈R2。

再由R的定义，有<，>∈R，所以R是自反的。

对任意的、∈A×B，若R，则∈R1且∈R2。

由R1对称得∈R1，由R2对称得∈R2。

再由R的定义，有<，>∈R，即R，所以R是对称的。

对任意的、、∈A×B，若R且R，则∈R1且∈R2，∈R1且∈R2。

由∈R1、∈R1及R1的传递性得∈R1，由∈R2、∈R2及R2的传递性得∈R1。

再由R的定义，有<，>∈R，即R，所以R是传递的。

综上可得，R是A×B上的等价关系。

九、设f：

AB，g：

BC，h：

CA，证明：

如果hgf＝IA，fhg＝IB，gfh＝IC，则f、g、h均为双射，并求出f－1、g－1和h－1（10分）。

解因IA恒等函数，由hgf＝IA可得f是单射，h是满射；因IB恒等函数，由fhg＝IB