积分上限函数性质及其应用数学Word下载.docx

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。

为方便可写：

于是又有

原函数存在定理是微积分学中基本定理。

牛顿–莱布尼茨公式：

若函数

上连续，且存在原函数

，即

，

，则

上可积，且

，这称为牛顿–莱布尼茨公式，

而在积分学中，为证明原函数存在定理及牛顿–莱布尼滋公式，引进了积分上限函数

本文讨论此函数的相关性质，比如导数存在性，连续性，有界性，周期性等，除此之外本文讨论了一元积分上限函数在微分中值定理中的应用，在证明不等式中的应用，求极限中的应用以及相关问题，更进一步的讨论了二元积分上限函数的定义，性质和应用，而且有关它的问题。

1积分上限函数

定义：

上可积，则对于每一个取定

，

上也可积

，于是由

定义了一个以积分上限

为自变量的函数，这称为函数

的积分上限函数（简称上限函数），也可以称为变限积分函数。

积分上限函数有明显的几何意义：

设

有

，则积分上限函数

是区间

上的上的区边梯形的面积，如图

（1）的阴影部分。

2上限积分函数的性质

（1）有界性

若

上可积，则积分上限函数

上有界。

证明：

因为，

上可积，则

上有界，即

，使得

，有

即证

（2）单调性

若

则积分上限函数

上单调递增（递减）。

（3）连续性

如果函数

上是可积，则积分上限函数

上连续。

又由已知条件，

即

，当

时

上连续

由

上的任意性，

（4）奇偶性

设函数

是（-A,A）上的连续函数，则有

1:

是奇函数，则

是偶函数。

2:

是偶函数，则

当

时奇函数。

（5）可导性

上连续，则积分上限所确定的函数

上存在导数，并且

，或者说：

积分上限函数所确定的函数是被积函数的一个原函数。

设

取

，使

，则有：

，已知函数

在闭区间连续，则由积分中值定理，至少存在一点

，使

则

或

又由函数

的连续性，有

，

由此可见，尽管定积分与不定积分

（原函数）的概念是完全不同的，但是二者之间存在着密切的关系。

所以在区间

上的连续函数

存在原函数，而积分上限函数

就是

的一个原函数。

对上述导数存在定理，我们有如下推广：

（6）性质5的推广

如果函数

1:

当上限是可微函数

时，

有下面求道公式

当上限与下线都是

的可微函数时，则有如下求导公式

1,取

由已知函数

是可微函数，

故

又因为

连续，由积分中值定理则

是可微的，因此

是连续，

便

所以

由已知，

和

都是可微函数

所以

上连续，由积分中值定理

同理得

可微，且它们是连续函数。

（7）周期性

周期为

的可积函数

的积分

时以

为周期的函数

令

成立，既当

函数

为以

为周期的的周期函数。

（8）进一步下面我们有更一般性的性质定理

是周期为

的连续函数，则

的函数，其中

为任意常数。

（1）

未周期为

的连续函数，所以有

（2）

把

（2）代人

（1）得

是以

该定理告诉我们当

是具有周期为

可以表示为一次函数

与周期为

的函数

之和。

3积分上限函数的应用

3.1积分上限函数在积分中值定理中的应用

引理：

（积分上限函数的基本定理）

上连续，则

上可导。

定理3.1.1（积分中值定理）

上连续,则在

内至少存在一点

使

设积分上限函数

上连续，所以由引理知

可导，且

在对

使用积分中值定理：

，既

定理3.2（推广的积分中值定理）

若函数

上都连续，且

上不变号，则

上至少存在一点C使：

时定理成立，现设

构造两个积分上限函数：

满足微分中值定理的条件，且

内一点

由引理1知：

那么

又

3.2积分上限函数在证明不等式中的应用

定理3.2.3设

为定义

在上的两格可积函数，若

.

定理3.2.4若

上连续，其中等号当且仅当存在常数

使得

时成立（

不同时为零）。

4.有关积分上限函数性质的例题

例1设函数

处连续，求

?

解：

例2若

连续且在

点可导，

求

由导数定义知道：

例3设

并且

，证明函数

在

内为增函数。

时，分母

内有定义，

由定理1-7得当

从而

内为增函数。

例4设

是

上连续奇函数且

单调上升，

求证：

是奇函数

是奇函数。

5.有关一元积分上限函数应用的题

5.1积分上限函数在求极限中的应用

例1

的简短点

的可去简短点

5.2积分上限函数在不等式中的应用

例1已知

上连续，

为任意实数

求证:

（1）

证明:

（1）式左端第一项应用Schwarz不等式

同理

（3）

式

（2）+（3）既得式

（1）。

5.3积分上限函数在微分中值定理中的应用

例1设

连续，且单调增加，试证明对任何

，恒有

则

通过这个例子我们可以知道一般涉及某两点的函数值差的题目，可考虑用微分中值定理或微分积分基本公式。

6二元积分上限函数性质和应用

定义：

是定义在矩形区域

上的二元函数，当

上某定值时，函数

则是定义在

上以

为自变量的一元函数，倘若这时

上可积，则其积分值是

上取值的函数，记为

，就有

一般地设

为定义在区域

上的二元函数，其中

上的连续函数，若对于

上的每一

固定的

值，

作为

的函数在闭区间

上取值的函数，记作

时，就有

6.1二元积分上限函数的性质

定理6.1.1（连续性）

若二元函数

在矩形区域

上连续，则函数

，对充分小的

由于

在有界闭区域

上连续，从而一直连续，即对人给的正数

，总存在某个正数

，对R内任意两点

，只要

就有

（2）

所以由

（1）和

（2）可推得：

这就证得

定理6.1.2（可微性）

与其偏导数

都在矩形区域

上可微，

且

对于

内任意一点

，设

由微分学的拉格郎日中值定理及

，在有界区域

上连续，对任给正数

，存在正数

，只要当

其中

，因此

这就证得对一切

定理6.1.3（可积性）

分别在

上可积，这就是说：

连续性假设下，同时存在两个求积顺序不同的积分。

例1求：

因为

，所以

通过交换积分顺序得到

求解完毕.

总结

本文中主要讨论积分上限函数的性质和应用，在学习积分上限函数时，要注意区分积分上下限变量与积分变量，不要混淆。

对积分上限函数求导是针对积分限变量的，还有利用积分上限函数的性质而求解函数的解，证明不等式题，积分中值定理是很方便的，很容易达到目的的，因此，深刻理解积分上限函数的定义，准确掌握相关性质，是解决各种积分上限函数有关问题的关键，除此之外二元积分上限函数的应用和用处给了我们很大的帮助，在解决多元函数积分学中二元函数是提供我们基础知识。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系编。

数学分析（上册）[M]，高等教育出版社（第三版），2001.220～222

[2]华东师范大学数学系编。

数学分析（下册）[M]。

高等教育出版社（第三版），2001.（2009重印）172～174

[3]裴礼文。

数学分析中的典型问题与方法[M]。

高等教育出版社，1993258

[4]王少英，王淑云。

积分上限函数，唐山师范学院学报[J]，（第30卷第5期）2008.9。

20～22页。

[5]高智民。

原函数存在定理在不等式证明题中的应用，高等数学研究[J]，（第6卷第4期）2003.1232～33页。

[6]高鸿。

积分上限函数的主要性质及其应用，湖南商学院学报[J]（双月刊）。

（第9卷第3期）2002.5138～139页。