热力统计学第一章标准答案Word格式.docx
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，式（3）可表为
（4）
选择图示的积分路线，从
积分到
，再积分到（
），相应地体
积由
最终变到
即
（常量），
或
（5）
式（5）就是由所给
求得的物态方程。
确定常量C需要进一步的实验数据。
1.3在
和1
下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为
可近似看作常量，今使铜块加热至
问：
（a）压强要增加多少
才能使铜块的体积维持不变？
（b）若压强增加100
，铜块的体积改变多少？
解：
（a）根据1.2题式
（2），有
（1）
上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差
，温度差
和压强差
之间的关系。
如果系统的体积不变，
与
的关系为
（2）
在
和
可以看作常量的情形下，将式
（2）积分可得
将式
（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3）。
但是应当强调，只要初态
和终态
是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。
这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。
本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。
在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。
将所给数据代入，可得
因此，将铜块由
加热到
，要使铜块体积保持不变，压强要增强
（b）1.2题式（4）可改写为
（4）
将所给数据代入，有
加热至
，压强由
增加
，铜块体积将增加原体积的
倍。
1.4简单固体和液体的体胀系数
数值都很小，在一定温度范围内可以把
看作常量.试证明简单固体和液体的物态方程可近似为
解:
以
为状态参量，物质的物态方程为
根据习题1.2式
（2），有
（1）
将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分，在
可以看作常量的情形下，有
考虑到
的数值很小，将指数函数展开，准确到
的线性项，有
如果取
，即有
（5）
1.5描述金属丝的几何参量是长度
，力学参量是张力J，物态方程是
实验通常在1
下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为
等温杨氏模量定义为
其中
是金属丝的截面积，一般来说，
是T的函数，对J仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常量，假设金属丝两端固定。
试证明，当温度由
降至
时，其张力的增加为
由物态方程
知偏导数间存在以下关系：
所以，有
（3）
积分得
与1.3题类似，上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过程，只要金属丝的初态是平衡态，两态的张力差
就满足式（4），与经历的过程无关。
1.6一理想弹性线的物态方程为
是长度，
是张力J为零时的L值，它只是温度T的函数，b是常量.试证明：
（a）等温扬氏模量为
在张力为零时，
其中A是弹性线的截面面积。
（b）线胀系数为
（c）上述物态方程适用于橡皮带，设
，试计算当
分别为
时的
值，并画出
对
的曲线.
解:
（a）根据题设，理想弹性物质的物态方程为
由此可得等温杨氏模量为
（2）
张力为零时，
（b）线胀系数的定义为
由链式关系知
（3）
而
所以
（4）
（c）根据题给的数据，
的曲线分别如图1-2（a），（b），（c）所示。
1.7抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界压强
时将活门关上，试证明：
小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能
与原来在大气中的内能
之差为
，其中
是它原来在大气中的体积，若气体是理想气体，求它的温度与体积。
将冲入小匣的气体看作系统。
系统冲入小匣后的内能
与其原来在大气中的内能
由式（1.5.3）
确定。
由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，
过程中外界对系统所做的功可以分为
两部分来考虑。
一方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由
变为零。
由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强
可以认为没有变化，即过程是等压的（但不是准静态的）。
过程中大气对系统所做的功为
另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功交换，则
因此式
（1）可表为
如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（1.7.10），有
式中
是系统所含物质的量。
代入式
（2）即有
（5）
活门是在系统的压强达到
时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作
，其物态方程为
（6）
与式（3）比较，知
（7）
1.8满足
的过程称为多方过程，其中常数
名为多方指数。
试证明：
理想气体在多方过程中的热容量
为
根据式（1.6.1），多方过程中的热容量
（1）
对于理想气体，内能U只是温度T的函数，
将多方过程的过程方程式
与理想气体的物态方程联立，消去压强
可得
（常量）。
将上式微分，有
代入式
（2），即得
（5）
其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。
1.9试证明：
理想气体在某一过程中的热容量
如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数
假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。
根据热力学第一定律，有
对于准静态过程有
对理想气体有
气体在过程中吸收的热量为
用理想气体的物态方程
除上式，并注意
将理想气体的物态方程全式求微分，有
式（3）与式（4）联立，消去
令
，可将式（5）表为
（6）
都是常量，将上式积分即得
（7）
式（7）表明，过程是多方过程。
1.10声波在气体中的传播速度为
假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量，试证明气体单位质量的内能
和焓
可由声速及
给出：
为常量。
根据式（1.8.9），声速
的平方为
其中v是单位质量的气体体积。
理想气体的物态方程可表为
是气体的质量，
是气体的摩尔质量。
对于单位质量的气体，有
代入式
（1）得
表示理想气体的比内能和比焓（单位质量的内能和焓）。
由式（1.7.10）—（1.7.12）知
（4）
将式（3）代入，即有
式（5）表明，如果气体可以看作理想气体，测定气体中的声速和
即可确定气体的比内能和比焓。
1.11大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中的低处与高处之间空气不断发生对流，由于气压随高度而降低，空气上升时膨胀，下降时收缩，空气的导热率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程，试计算大气温
度随高度的变化率
，并给出数值结果。
取
轴沿竖直方向（向上）。
分别表示在竖直高度为
处的大气压强。
二者之关等于两个高度之间由大气重量产生的压强，即
是高度为
处的大气密度，
是重力加速度。
将
展开，有
代入式
（1），得
式
（2）给出由于重力的存在导致的大气压强随高度的变化率。
表大气的平均摩尔质量。
在高度为
处，大气的摩尔体积为
，则物态方程为
是竖直高度为
处的温度。
代入式
（2），消去
得
（4）
由式（1.8.6）易得气体在绝热过程中温度随压强的变化率为
综合式（4）和式（5），有
（6）
大气的
（大气的主要成分是氮和氧，都是双原子分子），平均摩尔质量为
，代入式（6）得
式（7）表明，每升高1km，温度降低10K。
这结果是粗略的。
由于各种没有考虑的因素，实际每升高1km，大气温度降低6K左右。
1.12假设理想气体的
是温度的函数，试求在准静态绝热过程中
的关系，该关系式中要用到一个函数
，其表达式为
根据式（1.8.1），理想气体在准静态绝热过程中满足
用物态方程
除上式，第一项用
除，第二项用
除，可得
利用式（1.7.8）和（1.7.9），
可将式
（2）改定为
将上式积分，如果
是温度的函数，定义
（常量）， （5）
（6）
式（6）给出当
是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中T和V的关系。
1.13利用上题的结果证明：
当
为温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为
是温度的函数的情形下，§
1.9就理想气体卡诺循环得到的式（1.9.4）—（1.9.6）仍然成立，即仍有
根据1.13题式（6），对于§
1.9中的准静态绝热过程
（二）和（四），有
从这两个方程消去
，得
故
（7）
所以在
是温度的函数的情形下，理想气体卡诺循环的效率仍为
（8）
1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。
假设在
图中两条绝热线交于
点，如图所示。
设想一等温线与
两条绝热线分别交于
点和
点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程
中，系统在等温过程
中从外界吸取热量
，而在循环过程中对外做功
，其数值等于三条线所围面积（正值）。
循环过程完成后，系统回到原来的状态。
这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，
这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。
因此两条绝热线不可能相交。
1.15热机在循环中与多个热源交换热量，在热机
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