高一数学必修3知识点总结及典型例题解析.docx

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高一数学必修3知识点总结及典型例题解析

概率部分

1、事件：

随机事件、确定性事件、必然事件和不可能事件

2、随机事件的概率（统计定义）：

一般的，如果随机事件

在

次实验中发了

次，当实验的次数

很大时，我们称事件A发生的概率为

说明：

①一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一

②不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况

③随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率

④概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果

⑤概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值

3、概率必须满足三个基本要求：

对任意的一个随机事件

，有

如果事件

4、古典概率

①所有基本事件有限个

②每个基本事件发生的可能性都相等满足这两个条件的概率模型成为古典概型

如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个

，则每一个基本事件发生的概率都是

，如果某个事件

包含了其中的

个等可能的基本事件，则事件

发生的概率为

5、几何概型

一般地，一个几何区域

中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域

内”为事件

，则事件

发生的概率为

（这里要求

的侧度不为0，其中侧度的意义由

确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积）

几何概型的基本特点

①基本事件等可性

②基本事件无限多

说明：

为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域

内随机地取点，指的是该点落在区域

内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。

6、互斥事件：

不能同时发生的两个事件称为互斥事件

7、对立事件

两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件，事件

的对立事件记为：

独立事件的概率：

，

若

说明：

①若

可能都不发生，但不可能同时发生，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集

②对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生对立事件一定是互斥事件

从集合论来看：

表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集

⑤两个对立事件的概率之和一定是1，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1

⑥若事件

是互斥事件，则有

⑦一般地，如果

两两互斥，则有

⑧

⑨在本教材中

指的是

中至少发生一个

例1．在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，求至少有1个是红球的概率？

解法1：

（互斥事件）设事件

为“选取3个球至少有1个是红球”，则其互斥事件为

，意义为“选取3个球都是白球”

解法2：

（古典概型）由题意知，所有的基本事件有

种情况，设事件

为“选取3个球至少有1个是红球”，而事件

所含有的基本事件数有

，所以

.

解法3：

（独立事件概率）设事件

为“选取3个球至少有1个是红球”，则事件

的情况如下：

红白白

1红2白白白红

白红白

红红白

2红1白红白红

白红红

所以

.

例2.盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回的从中任抽2次，每次抽取1只，试求下列事件的概率：

（1）第1次抽到的是次品

（2）抽到的2次中，正品、次品各一次

解：

设事件

为“第1次抽到的是次品”，事件

为“抽到的2次中，正品、次品各一次”

则

，

（或者

）

例3.甲乙两人参加一次考试共有3道选择题，3道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求

（1）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？

（2）求至少1人抽到选择题的概率？

解：

设事件

为“甲抽到选择题而乙抽到填空题”，事件

为“至少1人抽到选择题”，则

为“两人都抽到填空题”

（1）

（2）

则

算法初步

1.1算法与程序框图

1、算法的概念

（1）算法概念：

在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.

（2）算法的特点:

有限性：

一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.

确定性：

算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.

顺序性与正确性：

算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.

不唯一性：

求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.

普遍性：

很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.

2、程序框图

（1）程序框图基本概念：

程序构图的概念：

程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。

一个程序框图包括以下几部分：

表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。

构成程序框的图形符号及其作用

程序框

名称

功能

起止框

表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。

输入、输出框

表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。

处理框

赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。

判断框

判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。

1.2基本算法语句

1、输入、输出语句和赋值语句

（1）输入语句

输入语句的一般格式

INPUT“提示内容”；变量

输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；

“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；

输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；

提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。

（2）输出语句

输出语句的一般格式

PRINT“提示内容”；变量

输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；

“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；

输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。

（3）赋值语句

赋值语句的一般格式

变量=表达式

赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；

赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。

赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；

赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；

对于一个变量可以多次赋值。

注意：

①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。

如：

2=X是错误的。

②赋值号左右不能对换。

如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。

③不能利用赋值语句进行代数式的演算。

（如化简、因式分解、解方程等）④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。

5：

条件语句

条件语句的一般格式有两种：

IF条件THEN

语句体

ENDIF

注意：

“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，结束程序；ENDIF表示条件语句的结束。

计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合就执行THEN后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。

IF条件THEN

语句体1

ELSE

语句体2

ENDIF

分析：

在IF—THEN—ELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；ENDIF表示条件语句的结束。

计算机在执行时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句1；若条件不符合，则执行ELSE后面的语句2。

6：

循环语句

循环结构是由循环语句来实现的。

对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构。

即WHILE语句和UNTIL语句。

（1）WHILE语句

WHILE语句的一般格式是对应的程序框图是

当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。

这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。

因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。

（2）UNTIL语句

UNTIL语句的一般格式是对应的程序框图是

直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOPUNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。

分析：

当型循环与直到型循环的区别：

当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；

在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环

统计

2.1随机抽样

1：

简单随机抽样

（1）总体和样本

在统计学中,把研究对象的全体叫做总体．

把每个研究对象叫做个体．

把总体中个体的总数叫做总体容量．

为了研究总体

的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：

，

，

，

研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．

（2）简单随机抽样，也叫纯随机抽样。

就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。

特点是：

每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。

简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。

通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。

（3）简单随机抽样常用的方法：

抽签法

随机数表法

计算机模拟法

使用统计软件直接抽取。

在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：

①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。

2：

系统抽样

（1）系统抽样（等距抽样或机械抽样）：

把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。

第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。

K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）

前提条件：

总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。

可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。

如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。

（2）系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。

因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单