圆锥曲线离心率问题讲解学习Word文档格式.docx
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的不等式，进而解出离心率
注：
在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：
椭圆：
，双曲线：
二、典型例题：
例1：
设
分别是椭圆
的左、右焦点，点
在椭圆
上，线段
的中点在
轴上，若
，则椭圆的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
思路：
本题存在焦点三角形
，由线段
轴上，
为
中点可得
轴，从而
，又因为
，则直角三角形
中，
，且
，所以
答案：
A
小炼有话说：
在圆锥曲线中，要注意
中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与
搭配形成三角形的中位线。
例2：
椭圆
与渐近线为
的双曲线有相同的焦点
为它们的一个公共点,且
则椭圆的离心率为________
本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设
，在双曲线中，
，不妨设
在第一象限，则由椭圆定义可得：
，由双曲线定义可得：
，因为
而
代入可得：
在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲线的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。
例3：
如图所示，已知双曲线
的右焦点为
，过
的直线
交双曲线的渐近线于
两点，且直线
的倾斜角是渐近线
倾斜角的2倍，若
，则该双曲线的离心率为（）
A.
B.
C.
D.
本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用
表示，再寻找一个等量关系解出
的关系。
双曲线的渐近线方程为
，由直线
倾斜角的2倍可得：
，确定直线l的方程为
，与渐近线联立方程得
将
转化为坐标语言，则
，即
，解得
，从而
B
例4：
分别为双曲线
的左、右焦点，双曲线上存在一点
使得
则该双曲线的离心率为
A.
B.
C.
D.3
条件与焦半径相关，所以联想到
，进而与
找到联系，计算出
的比例，从而求得
解：
即
解得：
（舍）或
例5：
如图，在平面直角坐标系
为椭圆
的四个顶点，
为其右焦点，直线
与直线
相交于点T，线段
与椭圆的交点
恰为线段
的中点，则该椭圆的离心率为.
本题涉及的条件多与坐标有关，很难联系到参数的几何意义，所以考虑将点的坐标用
进行表示，在利用条件求出离心。
首先直线
的方程含
，联立方程后交点
的坐标可用
进行表示（
），则
中点
，再利用
点在椭圆上即可求出离心率
直线
的方程为：
；
，联立方程可得：
解得：
，
则
上，
例6：
已知F是双曲线
的左焦点，
是该双曲线的右顶点，过点
且垂直于
轴的直线与双曲线交于
两点，若
是锐角三角形，则该双曲线的离心率
的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
从图中可观察到若
为锐角三角形，只需要
为锐角。
由对称性可得只需
即可。
且
均可用
表示，
是通径的一半，得：
，即
（1）在处理有关角的范围时，可考虑利用该角的一个三角函数值，从而将角的问题转变为边的比值问题
（2）本题还可以从直线
的斜率入手，
，利用
即可求出离心率
例7：
已知椭圆
的左、
右焦点分别为
，若椭圆上存在点
使
，则该椭圆的离心率的取值范围为（）
A.
B.
D.
为焦点三角形
的内角，且对边为焦半径
，所以利用正弦定理对等式变形：
，再由
，再利用焦半径的范围为
可得（由于依题意，
非左右顶点，所以焦半径取不到边界值
）：
D
例8：
已知
是椭圆
的左右焦点，若椭圆上存在点
，使得
，则椭圆离心率的取值范围是（）
思路一：
考虑在椭圆上的点
与焦点连线所成的角中，当
位于椭圆短轴顶点位置时，
达到最大值。
所以若椭圆上存在
的点
，则短轴顶点与焦点连线所成的角
，考虑该角与
的关系，由椭圆对称性可知，
，进而
可得
思路二：
由
，进而想到焦点三角形
的面积：
，另一方面：
在椭圆上，所以
，再同思路一可解得：
思路三：
可想到
，进而通过向量坐标化，将数量积转为方程。
，则有
，则
点一定在以
为圆心，
为半径的圆上，所以只需要该圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半径
时才可有交点，所以
，同思路一可解得
本题对
在圆上也可由
判定出
在以
为直径的圆上，进而写出圆方程
思路四：
开始同思路三一样，得到
所在圆方程为
在椭圆上，所以联立圆和椭圆方程：
代入消去
可得：
，整理后可得：
，由
，同思路一即可解得：
本题的众多思路重点区别在：
一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不同的结论得到不同的突破口；
二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过坐标方程用代数方式计算求解
例9：
设点
分别为椭圆
的左右焦点，若在椭圆上存在异于点
，其中
为坐标原点，则椭圆的离心率
的取值范围是（）
本题取值范围的突破口在“椭圆上存在点
”，则
的横纵坐标分别位于
中，所以致力于计算
的坐标，设
，题目中
也在以
为直径的圆上。
，所以联立方程：
，由已知可得
也是圆与椭圆的一个交点，所以由韦达定理可得：
，再根据
的范围可得：
本题运用到了一个求交点的模型：
即已知一个交点，可利用韦达定理求出另一交点，熟练使用这种方法可以快速解决某些点的坐标
例10：
如图，已知双曲线
上有一点
，它关于原点的对称点为
，点
为双曲线的右焦点，且满足
，设
，则该双曲线离心率
的取值范围为（）
B．
C．
D．
本题与焦半径相关，所以考虑
的几何含义，
为直角三角形，且
，结合
关于原点对称，所以
即为
的左焦半径。
所以有
，即关于
的函数，在
求值域即可：
三、历年好题精选
1、已知双曲线
是双曲线上关于原点对称的两点，
是双曲线上的动点，直线
的斜率分别为
，若
的最小值为
，则双曲线的离心率为（）
C．
2、（2016，新余一中模拟）已知点
是抛物线
的对称轴与准线的交点，点
为抛物线的焦点，
在抛物线上且满足
，当
取最大值时，点
恰好在以
为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）
3、已知
分别是双曲线
的左、右焦点，过点
是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）
B．
D．
4、设
的左右焦点，若双曲线左支上存在一点
为坐标原点，且
5、（2016四川高三第一次联考）椭圆
和圆
，（
为椭圆的半焦距）对任意
恒有四个交点，则椭圆的离心率
6、如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线
，设内层椭圆方程为
，外层椭圆方程为
若
的斜率之积为
，则椭圆的离心率为_______
7、（2015，新课标II）已知
为双曲线
的左右顶点，点
在
为等腰三角形，且顶角为
的离心率为（）
C.
8、（2016，宜昌第一中学12月考）已知双曲线
的左、右焦点分别为
在双曲线的左支上，且
，则此双曲线离心率的最大值为（）
B．
D．
9、（2015，山东）平面直角坐标系
中，双曲线
的渐近线与抛物线
交于点
的垂心为
的焦点，则
离心率为________
10、（2014，湖北）已知
是椭圆和双曲线的公共焦点，
是它们的一个公共点，且
，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）
11、（2014，浙江）设直线
与双曲线
的两条渐近线分别交于点
，若点
满足
，则该双曲线的离心率是______
习题答案：
1、答案：
B.
解析：
两式相减得:
.
2、答案：
A
由抛物线方程可得：
作准线的垂线，垂足为
，可知
取得最大值时，
最小，数形结合可知当
与抛物线相切时，
最小。
，联立方程
，此时
3、解析：
为钝角三角形，且
4、答案：
已知条件与焦半径相关，先考虑焦点三角形
的特点，从
入手，可得
，数形结合可得四边形
为菱形，所以
，可判定
为直角三角形。
，可得
5、答案：
由椭圆与圆有四个不同的交点，则
对任意
恒成立，即
，平方变形后可得：
6、答
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